半径 $r$ mの円形の池の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ であることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ mの円形の池の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

道の外側の円の半径は $r + a$ mなので、その面積は $\pi (r+a)^2$ m$^2$である。

池の面積は $\pi r^2$ m$^2$なので、道の面積 $S$ は次のようになる。

$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$

$S = \pi (r^2 + 2ra + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi ra + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi ra + \pi a^2$

次に、道の中央を通る円周の長さ $l$ を求める。

道の中央を通る円の半径は $r + \frac{a}{2}$ mなので、その円周の長さ $l$ は次のようになる。

$l = 2\pi (r + \frac{a}{2})$

$l = 2\pi r + \pi a$

したがって、$al$ は次のようになる。

$al = a (2\pi r + \pi a)$

$al = 2\pi ra + \pi a^2$

したがって、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = 2\pi ra + \pi a^2$

$l = 2\pi r + \pi a$

$al = 2\pi ra + \pi a^2$

ゆえに、$S = al$