$\triangle ABC$ は $\angle BAC = 90^\circ$ の直角三角形である。点Aから辺BCに垂線を下ろし、BCとの交点をPとする。$\triangle ABC$ の $\angle ABC$ の二等分線とAP, 辺ACとの交点をそれぞれQ, Rとする。このとき、$AQ = AR$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ は $\angle BAC = 90^\circ$ の直角三角形である。点Aから辺BCに垂線を下ろし、BCとの交点をPとする。$\triangle ABC$ の $\angle ABC$ の二等分線とAP, 辺ACとの交点をそれぞれQ, Rとする。このとき、$AQ = AR$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\angle ABC$ の二等分線を引いているので、$\angle ABP = \angle CBR$ である。これを $\theta$ とおく。つまり、$\angle ABP = \angle CBR = \theta$。

(2) $\triangle ABP$ において、$\angle APB = 90^\circ$ なので、$\angle BAP = 90^\circ - \angle ABP = 90^\circ - \theta$。

(3) $\angle BAQ = \angle BAP = 90^\circ - \theta$ であるから、$\triangle ABQ$ において、$\angle AQB = 180^\circ - (\angle BAQ + \angle ABQ) = 180^\circ - (90^\circ - \theta + \theta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。

(4) よって、$\angle AQC = 180^\circ - \angle AQB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。

(5) $\triangle ABR$ において、$\angle BAC = 90^\circ$ なので、$\angle ARB = 180^\circ - (\angle RAB + \angle ABR) = 180^\circ - (90^\circ + \theta) = 90^\circ - \theta$。

(6) $\triangle AQR$ において、$\angle RAQ = \angle BAC - \angle BAR = 90^\circ - \angle BAR$。また、$\angle AQC = \angle AQR$ であるから、$\angle AQR = 90^\circ$。

(7) $\angle AQR = 180^\circ - (\angle QAR + \angle ARQ)$ であるから、$90^\circ = 180^\circ - (\angle QAR + \angle ARQ)$。したがって、$\angle QAR + \angle ARQ = 90^\circ$。

(8) $\angle QAR = 90^\circ - \angle ARQ = 90^\circ - \angle ARB = 90^\circ - (90^\circ - \theta) = \theta$。

(9) $\triangle AQR$ において、$\angle RAQ = \theta$、$\angle ABR = \theta$ より、$\angle RAQ = \angle ABR$ である。

(10) $\triangle AQR$において、$\angle QAR = \angle ARQ = \theta$なので、$\triangle AQR$は$AQ = AR$の二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

$AQ = AR$