三角形$OA_1B_1$において、$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$である。点$A_1$から辺$OB_1$に下ろした垂線の足を$B_2$、$B_2$から辺$OA_1$に下ろした垂線の足を$A_2$とし、同様に繰り返すことで点$A_n, B_n$を定める。$A_nB_n = x_n$, $\triangle OA_nB_n = S_n$とする時、以下の問いに答える。 (1) $x_2$の値を求める。 (2) $x_{n+1}$を$x_n$を用いて表す。 (3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$を求める。

1. 問題の内容

三角形$OA_1B_1$において、$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$である。点$A_1$から辺$OB_1$に下ろした垂線の足を$B_2$、$B_2$から辺$OA_1$に下ろした垂線の足を$A_2$とし、同様に繰り返すことで点$A_n, B_n$を定める。$A_nB_n = x_n$, $\triangle OA_nB_n = S_n$とする時、以下の問いに答える。

(1) $x_2$の値を求める。

(2) $x_{n+1}$を$x_n$を用いて表す。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x_2$の値を求める。

$\triangle OA_1B_1$と$\triangle A_2OA_1$は相似である。

$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$であるから、

$OB_2 = OA_1 \times \frac{A_1B_1}{OB_1} = 4\sqrt{3} \times \frac{4}{8} = 2\sqrt{3}$

$OA_2 = OB_2 \times \frac{OA_1}{OB_1} = 2\sqrt{3} \times \frac{4\sqrt{3}}{8} = 3$

$x_2 = A_2B_2 = OA_1 \times \frac{A_1B_1}{OB_1} \times \frac{OA_1}{OB_1} = 4\sqrt{3} \times \frac{4}{8} \times \frac{4\sqrt{3}}{8} = 3$

$x_2 = A_2B_2 = OA_2 \frac{A_1B_1}{OA_1} = 3 \times \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

(2) $x_{n+1}$を$x_n$を用いて表す。

$\triangle OA_nB_n$と$\triangle OA_{n+1}B_{n+1}$は相似である。

$x_{n+1} = x_n \times \frac{OA_1}{OB_1} = x_n \times \frac{4\sqrt{3}}{8} = x_n \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x_1 = 4$

$x_2 = x_1\frac{OA_1}{OB_1} = x_1 \frac{4\sqrt{3}}{8} = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$から$OA_1$に下ろした垂線の足を$A_2$とすると、$OA_2 = OA_1 \frac{OA_1}{OB_1} = 4\sqrt{3}\times\frac{4\sqrt{3}}{8}=6$, $OB_2 = 2\sqrt{3}$

$A_{n+1}B_{n+1} = x_{n+1} = x_n \times \frac{OA_1}{OB_1}$であるから、$x_{n+1} = x_n \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$を求める。

$S_n = \frac{1}{2} \times OA_n \times A_nB_n$

$OA_n = \frac{OB_1}{A_1B_1}A_nB_n = \frac{8}{4} x_n = 2x_n$

$OA_1=4\sqrt{3}$, $OB_1=8$, $A_1B_1=4$, $A_2B_2=2\sqrt{3}$, $OA_2 = 2\sqrt{3}\frac{4\sqrt{3}}{8} = 3$, $OB_2 = 2\sqrt{3}$

$S_n = \frac{1}{2} OA_n A_nB_n = \frac{1}{2}OA_n x_n$

$OA_{n+1} = OA_n \frac{OA_1}{OB_1} = OA_n \frac{\sqrt{3}}{2}$

$OA_n = OA_1 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$

$x_n = x_1 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$

$S_n = \frac{1}{2} OA_n x_n = \frac{1}{2} OA_1 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1} x_1 (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1} = \frac{1}{2} OA_1 x_1 (\frac{3}{4})^{n-1} = \frac{1}{2} 4\sqrt{3} \times 4 (\frac{3}{4})^{n-1} = 8\sqrt{3} (\frac{3}{4})^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = 8\sqrt{3} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^{n-1} = 8\sqrt{3} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^n = 8\sqrt{3} \times \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 8\sqrt{3} \times 4 = 32\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x_2 = 2\sqrt{3}$

(2) $x_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{2} x_n$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n = 32\sqrt{3}$