点 $(3, 4)$ と直線 $y = 2x + 1$ の間の距離を求める。

1. 問題の内容

点 $(3, 4)$ と直線 $y = 2x + 1$ の間の距離を求める。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の間の距離 $d$ は次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

まず、直線の方程式を $ax + by + c = 0$ の形に変形します。

$y = 2x + 1$ より $2x - y + 1 = 0$ となります。

したがって、$a = 2$, $b = -1$, $c = 1$ です。

また、$x_0 = 3$, $y_0 = 4$ です。

これらの値を距離の公式に代入すると、

$d = \frac{|2(3) + (-1)(4) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

分母の有理化を行うと、

$d = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$