三角形 $OA_1B_1$ があり、$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$ である。点 $A_1$ から辺 $OB_1$ に下ろした垂線の足を $B_2$、$B_2$ から辺 $OA_1$ に下ろした垂線の足を $A_2$ とし、同様の操作を繰り返して点 $A_n, B_n$ を定める。$A_nB_n = x_n$, $\triangle O A_n B_n = S_n$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $x_2$ の値を求めよ。 (2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表せ。 (3) $\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形 $OA_1B_1$ があり、$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$ である。点 $A_1$ から辺 $OB_1$ に下ろした垂線の足を $B_2$、$B_2$ から辺 $OA_1$ に下ろした垂線の足を $A_2$ とし、同様の操作を繰り返して点 $A_n, B_n$ を定める。$A_nB_n = x_n$, $\triangle O A_n B_n = S_n$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $x_2$ の値を求めよ。

(2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表せ。

(3) $\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x_2$ の値を求める。

$\triangle OA_1 B_1$ において、$OA_1 = 4\sqrt{3}$, $OB_1 = 8$, $A_1B_1 = 4$ である。

$\angle A_1 O B_1 = \theta$ とすると、余弦定理より、

$A_1 B_1^2 = OA_1^2 + OB_1^2 - 2 OA_1 \cdot OB_1 \cos \theta$

$4^2 = (4\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 \cos \theta$

$16 = 48 + 64 - 64\sqrt{3} \cos \theta$

$64\sqrt{3} \cos \theta = 96$

$\cos \theta = \frac{96}{64\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\theta = 30^\circ$ である。

$\triangle O A_1 B_1$ の面積は $\frac{1}{2} OA_1 \cdot OB_1 \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 8\sqrt{3}$ である。

また、$A_1 B_1 = x_1 = 4$ である。

$\triangle O B_2 A_2 \sim \triangle O B_1 A_1$ より相似比を考える。

$A_2B_2 = x_2$ とすると、

$\triangle OA_1B_1$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot OB_1 \cdot x_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$

これは $8\sqrt{3}$ と異なるので、間違い。

$\triangle O A_1 B_1$ の面積は $\frac{1}{2} OA_1 \cdot A_1 B_1 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} OB_1 \cdot A_1 B_1 \cdot \sin(\theta)$

$A_1 B_1 = 4$

$A_2B_2 = x_2$

$\triangle B_1 A_1 O$において、$A_1$から$OB_1$に垂線を下ろしたものが$B_2$、$B_2$から$OA_1$に垂線を下ろしたものが$A_2$。$\angle A_1 O B_1 = 30^\circ$より，$OB_2 = OA_1 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$。$\triangle B_2OA_2$において、$OA_2= OB_2 \cos(30^\circ)= 6 \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$。$\triangle A_2OB_2$において、$A_2 B_2 = OB_2 \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

したがって、$x_2 = 3$ である。

(2) $x_{n+1}$ を $x_n$ を用いて表す。

$\triangle O A_n B_n$ と $\triangle O A_{n+1} B_{n+1}$ は相似であるから、相似比は $OA_{n+1} / OA_n = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

また、$OB_{n+1} = OA_n \cos 30^\circ$，$OA_{n+1}=OB_{n+1} \cos 30^\circ = OA_n (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$。

また，$x_{n+1}= x_n (\frac{\sqrt{3}}{2})^2= x_n \cdot (\frac{3}{4})$.

これは$OA_n$ではなく$OB_n$がヒントになっていることを示す。$A_n B_n=x_n= OB_n \sin 30^\circ = \frac{OB_n}{2}$.

$x_{n+1}=\frac{OB_{n+1}}{2}$, $OB_{n+1}=OA_n \cos 30^\circ$,$OA_n=OB_n \cos 30^\circ$。$x_n=\frac{OB_n}{2}$。

$A_n B_n=x_n= OB_n \sin 30^\circ$. $OB_n=8 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$. $x_n=4 \cdot (\frac{3}{4})^{(n-1)/2}$

$x_{n+1}=OA_{n+1}/2$.

$\triangle O A_n B_n \sim \triangle O A_{n+1} B_{n+1}$ より、$\frac{A_{n+1} B_{n+1}}{A_n B_n} = \frac{OA_{n+1}}{OA_n}$ が成り立つ。

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{OA_{n+1}}{OA_n} = \cos \theta \cos \theta= \frac{OB_n \cos^2 30}{OB_n} = cos^2 \theta = \frac{3}{4}$.

よって、$x_{n+1} = \frac{3}{4} x_n$.

(3) $\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求める。

$S_n = \frac{1}{2} OA_n \cdot A_n B_n \sin 90^\circ = \frac{1}{2} OA_n x_n$

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \sum_{n=1}^\infty \triangle OA_n B_n = \triangle OA_1 B_1 + \triangle OA_2 B_2 + \dots$

$\triangle OA_n B_n$ と $\triangle OA_{n+1} B_{n+1}$ の面積比は $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

よって、$\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{S_1}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{1}{2} OA_1 A_1 B_1}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{1}{2} 4\sqrt{3} \cdot 4}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{7}{16}} = \frac{128\sqrt{3}}{7}$.

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $x_{n+1} = \frac{3}{4}x_n$

(3) $\frac{128\sqrt{3}}{7}$