図2の三角柱について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 三角柱の表面積を求める。 (2) 4点A, D, E, Fを頂点とする三角錐の体積を求める。

1. 問題の内容

図2の三角柱について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 三角柱の表面積を求める。

(2) 4点A, D, E, Fを頂点とする三角錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角柱の表面積

三角柱の表面積は、2つの底面（三角形ABCと三角形DEF）の面積と、3つの側面（長方形ABED, ACFD, BCFE）の面積の合計です。

三角形ABCの面積は、$\angle BAC = 90^{\circ}$ である直角三角形なので、

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2$

長方形ABEDの面積は、

$S_{ABED} = AB \times BE = 6 \times 10 = 60 \text{ cm}^2$

長方形ACFDの面積は、

$S_{ACFD} = AC \times CF = 8 \times 10 = 80 \text{ cm}^2$

長方形BCFEの面積は、

$S_{BCFE} = BC \times BE = 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2$

したがって、三角柱の表面積は、

$2 \times S_{\triangle ABC} + S_{ABED} + S_{ACFD} + S_{BCFE} = 2 \times 24 + 60 + 80 + 100 = 48 + 60 + 80 + 100 = 288 \text{ cm}^2$

(2) 三角錐ADEFの体積

三角錐ADEFの体積は、底面を三角形DEF、高さを点Aから底面DEFに下ろした垂線ADとしたときの体積として計算できます。

三角形DEFの面積は、三角形ABCの面積と同じなので、$24 \text{ cm}^2$。

ADの長さは、BEと同じなので、$AD = 10 \text{ cm}$。

したがって、三角錐ADEFの体積は、

$V = \frac{1}{3} \times S_{\triangle DEF} \times AD = \frac{1}{3} \times 24 \times 10 = 8 \times 10 = 80 \text{ cm}^3$

3. 最終的な答え

(1) 三角柱の表面積: $288 \text{ cm}^2$

(2) 三角錐ADEFの体積: $80 \text{ cm}^3$