正方形の折り紙を3つに折り、図のように切ったとき、 (8) 切り離された紙の中で最も小さいものはどんな形か。 (9) 切り離された紙の中で2番目に小さい図形と元の正方形の面積の関係はどれか。

1. 問題の内容

正方形の折り紙を3つに折り、図のように切ったとき、

(8) 切り離された紙の中で最も小さいものはどんな形か。

(9) 切り離された紙の中で2番目に小さい図形と元の正方形の面積の関係はどれか。

2. 解き方の手順

(8)

折り紙を実際に折って切ることを想像する。

3つ折りにした状態で斜めに切ると、一番小さいものは直角二等辺三角形になる。

(9)

元の正方形の1辺の長さを $a$ とする。

3つ折りにしているので、3つの長方形に分かれる。それぞれの長方形の縦の長さは $a/3$ である。

一番小さい図形である直角二等辺三角形は、3つ折りにしたうちの一つの長方形の角を切ったものなので、その面積は $(1/2) \times (a/3) \times (a/3) = a^2/18$ である。

切ったときにできる二番目に小さい図形は、$a/3$ を1辺とする正方形である。

その面積は $(a/3)^2 = a^2/9 = 2a^2/18$ である。

元の正方形の面積は $a^2 = 18a^2/18$ である。

二番目に小さい図形と元の正方形の面積の比は $a^2/9 : a^2 = 1/9 : 1 = 1 : 9$ である。

問題文の選択肢には1:9がないため、図からおおよその面積比を推測する。

小さい直角二等辺三角形が6つで2番目に小さい正方形になる。

3つ折りにした正方形全体の面積は正方形の1/3である。つまり、全体は直角二等辺三角形18個分の面積である。

2番目に小さい図形の面積:元の正方形の面積 = 6:18 = 1:3となる。

選択肢の中で一番近いものは2:5である。

3:8も近いが、2:5の方が妥当である。

3. 最終的な答え

(8) 直角二等辺三角形

(9) 2:5