ベクトル $\vec{a} = (2-t, 2t-1, t)$ が $x$軸の正の向きとなす角が45°であるとき、$t$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2-t, 2t-1, t)$ が $x$軸の正の向きとなす角が45°であるとき、$t$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x$軸の正の向きを表す単位ベクトルを $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ とします。

$\vec{a}$ と $\vec{e_1}$ のなす角 $\theta$ が45°なので、

$\cos \theta = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ベクトルの内積の定義より、

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = |\vec{a}| |\vec{e_1}| \cos \theta$

$\vec{a} \cdot \vec{e_1} = (2-t) \cdot 1 + (2t-1) \cdot 0 + t \cdot 0 = 2 - t$

$|\vec{a}| = \sqrt{(2-t)^2 + (2t-1)^2 + t^2} = \sqrt{4 - 4t + t^2 + 4t^2 - 4t + 1 + t^2} = \sqrt{6t^2 - 8t + 5}$

$|\vec{e_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

したがって、

$2 - t = \sqrt{6t^2 - 8t + 5} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$2 - t = \frac{\sqrt{6t^2 - 8t + 5}}{\sqrt{2}}$

両辺を2乗します。

$(2 - t)^2 = \frac{6t^2 - 8t + 5}{2}$

$4 - 4t + t^2 = \frac{6t^2 - 8t + 5}{2}$

両辺に2を掛けます。

$8 - 8t + 2t^2 = 6t^2 - 8t + 5$

$0 = 4t^2 - 3$

$4t^2 = 3$

$t^2 = \frac{3}{4}$

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

ここで、$2 - t > 0$ である必要があるため、$t < 2$ を満たす必要があります。

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の場合、$2 - t = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ を満たします。

$t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ の場合、$2 - t = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ を満たします。

しかし、内積の式から、$2-t$ は正である必要があるため、$\vec{a}$と$\vec{e_1}$のなす角が鋭角でなければなりません。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$のそれぞれの場合について$\cos\theta$の符号を検討する必要はなく，$2 - t = \frac{\sqrt{6t^2 - 8t + 5}}{\sqrt{2}}$ という式から$2-t$は正の値をとる必要があります。

ここで、$\vec{a}$の成分がすべて実数であるためには$6t^2 - 8t + 5 > 0$である必要があり、$2-t>0$という条件から、$t<2$でなければなりません。また，$|\vec{a}| \ne 0$より、$\sqrt{6t^2 - 8t + 5} \ne 0$です。

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$2 - t = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ なので条件を満たします。

$t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$2 - t = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ なので条件を満たします。

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、

$6t^2 - 8t + 5 = 6 \cdot \frac{3}{4} - 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 = \frac{9}{2} - 4\sqrt{3} + 5 = \frac{19}{2} - 4\sqrt{3}$

$\cos \theta = \frac{2 - t}{|\vec{a}|} = \frac{2 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{19}{2} - 4\sqrt{3}}} = \frac{4 - \sqrt{3}}{\sqrt{38 - 16\sqrt{3}}}$

$t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、

$6t^2 - 8t + 5 = 6 \cdot \frac{3}{4} - 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 5 = \frac{9}{2} + 4\sqrt{3} + 5 = \frac{19}{2} + 4\sqrt{3}$

$\cos \theta = \frac{2 - t}{|\vec{a}|} = \frac{2 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{19}{2} + 4\sqrt{3}}} = \frac{4 + \sqrt{3}}{\sqrt{38 + 16\sqrt{3}}}$

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$より，$t=\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$