四面体OABCにおいて、$\triangle ABC$の重心をG、辺OAの中点をMとする。直線OGと平面MBCの交点をPとするとき、$OP:OG$を求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\triangle ABC$の重心をG、辺OAの中点をMとする。直線OGと平面MBCの交点をPとするとき、$OP:OG$を求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とおく。

Gは$\triangle ABC$の重心であるから、

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3}$

Pは直線OG上にあるので、実数$k$を用いて

$\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OG} = \frac{k}{3} \overrightarrow{a} + \frac{k}{3} \overrightarrow{b} + \frac{k}{3} \overrightarrow{c}$

と表せる。

Pは平面MBC上にあるので、実数$s,t$を用いて

$\overrightarrow{MP} = s \overrightarrow{MB} + t \overrightarrow{MC}$

と表せる。

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$であるから、

$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OM} = s (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}) + t (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM})$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + s \overrightarrow{OB} - s \overrightarrow{OM} + t \overrightarrow{OC} - t \overrightarrow{OM}$

$\overrightarrow{OP} = (1 - s - t) \overrightarrow{OM} + s \overrightarrow{OB} + t \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1 - s - t}{2} \overrightarrow{a} + s \overrightarrow{b} + t \overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$は一次独立なので、

$\frac{k}{3} = \frac{1 - s - t}{2}$

$\frac{k}{3} = s$

$\frac{k}{3} = t$

これらを解くと、

$s = \frac{k}{3}$、 $t = \frac{k}{3}$

$\frac{k}{3} = \frac{1 - \frac{k}{3} - \frac{k}{3}}{2}$

$\frac{k}{3} = \frac{1 - \frac{2k}{3}}{2}$

$2k = 3(1 - \frac{2k}{3})$

$2k = 3 - 2k$

$4k = 3$

$k = \frac{3}{4}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OG}$

よって、$OP:OG = 3:4$

3. 最終的な答え

$OP:OG = 3:4$