ABを直径とする円が点Aで直線CDに接している。$AC = r$, $AD = \sqrt{5}r$ であり、$AG = \sqrt{5}$ であるとき、$r$ の値を求める。

1. 問題の内容

ABを直径とする円が点Aで直線CDに接している。$AC = r$, $AD = \sqrt{5}r$ であり、$AG = \sqrt{5}$ であるとき、$r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* 円の接線と弦の作る角の定理より、$\angle CAB = \angle ABE$。

* $\angle CAB = \theta$ とおくと、$\angle ABE = \theta$。

* $\triangle ACD$ において、$AC = r$, $AD = \sqrt{5}r$ であるから、三平方の定理より

$CD^2 = AC^2 + AD^2 = r^2 + (\sqrt{5}r)^2 = 6r^2$

よって $CD = \sqrt{6}r$

* $\triangle ACD$ において、$tan(\angle ADC) = \frac{AC}{AD} = \frac{r}{\sqrt{5}r} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

* $\angle ADB = 90^\circ$ であるから、$\angle CDB = 90^\circ$ であり、$\triangle CDB$ は直角三角形。

* 方べきの定理より、$AD^2 = AG \cdot AC$

$(\sqrt{5}r)^2 = AG \cdot AC$

$CD^2 = CA \cdot CF$ が成り立つ。

* $\triangle CBF \sim \triangle CDA$ (AA相似)

$\angle CFB = \angle CAD$

$\angle CBF = \angle CDA$

したがって $\frac{CB}{CD} = \frac{CF}{CA} = \frac{BF}{AD}$

$AD^2 = AG \cdot AC$ から

$(\sqrt{5}r)^2 = \sqrt{5} \cdot AC$

$5r^2 = \sqrt{5} AC$

したがって、$AC = \sqrt{5}r$

$AC = r$ であるため、$AC = r = \sqrt{5}r$

$\sqrt{5}r^2 = \sqrt{5}r$, $r=1$。

方べきの定理より、$AG \cdot AF = AE \cdot AB$

$AD^2=AG * AC, (\sqrt5 r)^2=\sqrt5*r$

$r=\frac{\sqrt5}5= \frac{1}{\sqrt5}$

$CD^2 = AD^2+AC^2$

$CD^2=6r^2$

$CD=\sqrt6*r$

$\triangle ACD相似\triangle FBC$

$\frac{AC}{CD}=\frac{FB}{BC}$

$\frac{r}{\sqrt6 r}=\frac{FB}{BC}$

$AF=AC+CF, CF=FB \cdot \sqrt6$

$AG \cdot AD=AE \cdot AD$

$AD^2=AC*AG+DG*AC$

* $AD^2 = AG \cdot AC$, $(\sqrt{5}r)^2 = \sqrt{5} \cdot r$。

$5r^2 = \sqrt{5}r$。

$5r^2 - \sqrt{5}r = 0$。

$r(5r - \sqrt{5}) = 0$。

$r = 0$ または $5r = \sqrt{5}$。

$r = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$。

rは0でないので、$r=\frac{1}{\sqrt5} = \frac{\sqrt5}5$

3. 最終的な答え

$r = \frac{\sqrt{5}}{5}$