2点 $A(1, 3, -2)$ と $B(4, -3, 1)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。 (1) 2点 A, B 間の距離 (2) 線分 AB の中点の座標 (3) 線分 AB を 2:1 に内分する点の座標 (4) 線分 AB を 2:1 に外分する点の座標

1. 問題の内容

2点 $A(1, 3, -2)$ と $B(4, -3, 1)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。

(1) 2点 A, B 間の距離

(2) 線分 AB の中点の座標

(3) 線分 AB を 2:1 に内分する点の座標

(4) 線分 AB を 2:1 に外分する点の座標

2. 解き方の手順

(1) 2点 A, B 間の距離は、距離の公式を使って計算します。距離を $d$ とすると、

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (-3-3)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

(2) 線分 AB の中点の座標は、各座標の平均を計算します。中点の座標を M とすると、

$M = (\frac{1+4}{2}, \frac{3+(-3)}{2}, \frac{-2+1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{0}{2}, \frac{-1}{2}) = (\frac{5}{2}, 0, -\frac{1}{2})$

(3) 線分 AB を 2:1 に内分する点の座標は、内分点の公式を使って計算します。内分点を P とすると、

$P = (\frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 1}{2+1}, \frac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot 3}{2+1}, \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2)}{2+1}) = (\frac{8+1}{3}, \frac{-6+3}{3}, \frac{2-2}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{-3}{3}, \frac{0}{3}) = (3, -1, 0)$

(4) 線分 AB を 2:1 に外分する点の座標は、外分点の公式を使って計算します。外分点を Q とすると、

$Q = (\frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 1}{2-1}, \frac{2 \cdot (-3) - 1 \cdot 3}{2-1}, \frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)}{2-1}) = (\frac{8-1}{1}, \frac{-6-3}{1}, \frac{2+2}{1}) = (7, -9, 4)$

3. 最終的な答え

(1) 2点 A, B 間の距離: $3\sqrt{6}$

(2) 線分 AB の中点の座標: $(\frac{5}{2}, 0, -\frac{1}{2})$

(3) 線分 AB を 2:1 に内分する点の座標: $(3, -1, 0)$

(4) 線分 AB を 2:1 に外分する点の座標: $(7, -9, 4)$