正四面体ABCDにおいて、三角形BCDの重心をGとする。このとき、AGとBCが垂直であることをベクトルを用いて証明する。つまり、$AG \perp BC$ を証明する。

1. 問題の内容

正四面体ABCDにおいて、三角形BCDの重心をGとする。このとき、AGとBCが垂直であることをベクトルを用いて証明する。つまり、$AG \perp BC$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}, \vec{AD} = \vec{d}$ とおく。

三角形BCDの重心Gの位置ベクトルは、

$$\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}$$

と表される。

次に、$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$ である。

$AG \perp BC$を示すには、$\vec{AG} \cdot \vec{BC} = 0$ であることを示せばよい。

$$\vec{AG} \cdot \vec{BC} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{3} (\vec{b}\cdot\vec{c} - \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c} - \vec{c}\cdot\vec{b} + \vec{d}\cdot\vec{c} - \vec{d}\cdot\vec{b})$$

正四面体なので、$|\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = a$ とおき、$\vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{d} = \vec{d}\cdot\vec{b} = a^2 \cos{\theta}$ とおく。（$\theta$ は正四面体の隣り合う辺のなす角）

すると、

$$\vec{AG} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{3}(a^2\cos{\theta} - a^2 + a^2 - a^2\cos{\theta} + a^2\cos{\theta} - a^2\cos{\theta}) = \frac{1}{3}(0) = 0$$

したがって、$\vec{AG} \cdot \vec{BC} = 0$ であるので、$AG \perp BC$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$AG \perp BC$ が成り立つ。