$\theta$は鋭角であり、$\sin\theta = \frac{2}{3}$のとき、$\sin(90^{\circ} - \theta)$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であり、$\sin\theta = \frac{2}{3}$のとき、$\sin(90^{\circ} - \theta)$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos\theta$であることから、$\cos\theta$の値を求めます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$の公式を使います。

$\sin\theta = \frac{2}{3}$なので、$\sin^2\theta = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$です。

したがって、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$となります。

$\theta$は鋭角なので、$\cos\theta > 0$であるため、$\cos\theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$となります。

よって、$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$となります。

3. 最終的な答え

$\sin(90^{\circ} - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$