平面上に点Oを中心とする半径1の円周上に3点A, B, Cがあり、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = -\frac{2}{3}$ および $\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}$ を満たす。$0 < t < 1$ を満たす実数tに対し、線分ABを $t : (1-t)$ に内分する点をPとする。また、直線OP上に点Qをとる。cos∠AOB, $\overrightarrow{OQ}$の式、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OP}$が垂直になるときのtの値、∠OCQが直角となるときのkの値, 0 < t < 1における点Qの位置を求める問題である。

1. 問題の内容

平面上に点Oを中心とする半径1の円周上に3点A, B, Cがあり、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = -\frac{2}{3}$ および $\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}$ を満たす。$0 < t < 1$ を満たす実数tに対し、線分ABを $t : (1-t)$ に内分する点をPとする。また、直線OP上に点Qをとる。cos∠AOB, $\overrightarrow{OQ}$の式、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OP}$が垂直になるときのtの値、∠OCQが直角となるときのkの値, 0 < t < 1における点Qの位置を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の内積の定義から、

$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}| \cos \angle AOB$

$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 1$ より

$-\frac{2}{3} = 1 \times 1 \times \cos \angle AOB$

$\cos \angle AOB = -\frac{2}{3}$

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ である。$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$ とおくと、

$\overrightarrow{OQ} = k(1-t)\overrightarrow{OA} + kt\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OC} = k(1-t)\overrightarrow{OA} + kt\overrightarrow{OB} - (-\overrightarrow{OA}) = (k(1-t)+1)\overrightarrow{OA} + kt\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OP}$ が垂直となるのは、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ となるとき。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} \cdot ((1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}) = (1-t)|\overrightarrow{OA}|^2 + t(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})$

$= 1-t + t(-\frac{2}{3}) = 1-t - \frac{2}{3}t = 1-\frac{5}{3}t = 0$

$t = \frac{3}{5}$

(2) $\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{CQ}$ より、$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{CQ} = 0$。

$-\overrightarrow{OA} \cdot ((k(1-t)+1)\overrightarrow{OA} + kt\overrightarrow{OB}) = 0$

$-(k(1-t)+1)|\overrightarrow{OA}|^2 -kt\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 0$

$-(k(1-t)+1) - kt(-\frac{2}{3}) = 0$

$-k+kt -1 + \frac{2}{3}kt = 0$

$-k - 1 + \frac{5}{3}kt = 0$

$k(\frac{5}{3}t - 1) = 1$

$k = \frac{1}{\frac{5}{3}t - 1} = \frac{3}{5t-3}$

ここで、$t = \frac{4}{5}$ のとき、$k = \frac{3}{5 \times \frac{4}{5} - 3} = \frac{3}{4-3} = 3$

$t = \frac{3}{5}$ の時、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ より、 $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OP}$

よって、$0 < t < \frac{3}{5}$ ならば, 点Qは$D_2$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる。

$\frac{3}{5} < t < 1$ ならば、点Qは$D_1$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる。

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AOB = -\frac{2}{3}$

$\overrightarrow{OQ} = k(1-t)\overrightarrow{OA} + kt\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{CQ} = (k(1-t)+1)\overrightarrow{OA} + kt\overrightarrow{OB}$

$t = \frac{3}{5}$

(2) $k = 3$

$0 < t < \frac{3}{5}$ ならば、点Qは ② $D_2$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる

$\frac{3}{5} < t < 1$ ならば、点Qは ⓪ $D_1$に含まれ、かつ$E_1$に含まれる