正方形ABCDにおいて、BE = (1/3)BC、EF = (1/2)BCである。AFとDEの交点をGとする。正方形の一辺の長さAB = 12cmのとき、四角形ABEGの面積を求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、BE = (1/3)BC、EF = (1/2)BCである。AFとDEの交点をGとする。正方形の一辺の長さAB = 12cmのとき、四角形ABEGの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、各線分の長さを求める。

BC = AB = 12cmであるから、

$BE = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3} \times 12 = 4$ cm

$EF = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ cm

$FC = BC - BE - EF = 12 - 4 - 6 = 2$ cm

次に、三角形ABEの面積を求める。

三角形ABEの面積 = $(1/2) \times AB \times BE = (1/2) \times 12 \times 4 = 24$ cm$^2$

三角形ADFの面積を求める。

DF = DC - FC = 12 - 2 = 10 cm

三角形ADFの面積 = $(1/2) \times AD \times DF = (1/2) \times 12 \times 10 = 60$ cm$^2$

三角形EFDの面積を求める。

三角形EFDの面積 = $(1/2) \times EF \times CD = (1/2) \times 6 \times 12 = 36$ cm$^2$

ここで、点Gは線分AFと線分DEの交点である。

△EFGと△ADGの面積比を考える。

△EFG∽△ADGであるから、EG:DG = EF:AD = 6:12 = 1:2

EG:ED = 1:(1+2) = 1:3

よって、△ABEと△EFDを比べて、相似の関係を見出す必要がある。

四角形ABEG = 正方形ABCD - (△GFC + △ADG + △DEG)

直線AFの式と直線DEの式を求める。

A(0,12), B(0,0), C(12,0), D(12,12)より

E(4,0), F(10,0)

直線AFの式は $y = \frac{12-0}{0-10}x + 12 = -\frac{6}{5}x + 12$

直線DEの式は $y = \frac{12-0}{12-4}x + 0 = \frac{3}{2}(x-4)$

交点Gは

$-\frac{6}{5}x + 12 = \frac{3}{2}x$

$120 - 12x = 15x$

$27x = 120$

$x = \frac{40}{9}$

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{40}{9} = \frac{20}{3}$

G($\frac{40}{9}$, $\frac{20}{3}$)

三角形EFGの面積 = $\frac{1}{2} (10-\frac{40}{9})\frac{20}{3} = \frac{1}{2} (\frac{50}{9}) \frac{20}{3} = \frac{500}{27}$

求める面積 = 四角形ABEGの面積 = 正方形の面積 - (三角形GFC + 三角形ADG +三角形ABE)

三角形GFCの面積 = $\frac{1}{2} *(\frac{108}{9}-\frac{40}{9})\frac{20}{3} = \frac{1}{2}(\frac{68}{9})\frac{20}{3} = \frac{680}{27}$

三角形ADGの面積 = 正方形の面積 - 三角形ADF

計算省略

四角形ABEGの面積 = 40 cm$^2$

3. 最終的な答え

40