三角形ABCがあり、AB=4, BC=6, CA=5です。三角形ABCの内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をDとします。AD:DB, ADの値、CI:IDの値を求めます。

## 問題21

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB=4, BC=6, CA=5です。三角形ABCの内心をIとし、直線CIと辺ABの交点をDとします。AD:DB, ADの値、CI:IDの値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用します。角Cの二等分線CDは、辺ABをAD:DB = CA:CBに分割します。

$AD:DB = CA:CB = 5:6$

次に、ADの長さを求めます。AD + DB = AB = 4なので、

$AD = \frac{5}{5+6} \times AB = \frac{5}{11} \times 4 = \frac{20}{11}$

次に、チェバの定理を利用します。三角形ABCにおいて、点Dは辺AB上、点Eは辺BC上、点Fは辺CA上にあり、線分AE, BF, CDが一点Iで交わるとします。このとき、

$\frac{AD}{DB} \times \frac{BE}{EC} \times \frac{CF}{FA} = 1$

ここで、Iは内心なので、AE, BF, CDはそれぞれ角A, 角B, 角Cの二等分線です。したがって、

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}$

$\frac{CF}{FA} = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

したがって、

$\frac{AD}{DB} \times \frac{BE}{EC} \times \frac{CF}{FA} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = 1$

次に、角の二等分線の性質を利用して、CI:IDを求めます。

三角形ABCにおいて、角Cの二等分線CDに関して、

$\frac{CI}{ID} = \frac{AC + BC}{AB} = \frac{5+6}{4} = \frac{11}{4}$

3. 最終的な答え

AD:DB = 5:6

AD = 20/11

CI:ID = 11:4

## 問題22

1. 問題の内容

面積が1である三角形ABCの重心をGとします。直線AGと辺BCとの交点をDとします。BD:CD, 三角形ACDの面積、AG:GD、三角形GDCの面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、重心の性質から、Dは辺BCの中点なので、BD:CD = 1:1

次に、三角形ACDの面積を求めます。DはBCの中点なので、三角形ABDと三角形ACDの面積は等しく、三角形ABCの面積の半分です。したがって、三角形ACDの面積は1/2です。

$S_{ACD} = \frac{1}{2}S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

重心Gは中線ADを2:1に分割します。したがって、AG:GD = 2:1

$AG:GD = 2:1$

三角形GDCの面積は、三角形ADCの面積の1/3です。

$S_{GDC} = \frac{1}{3} S_{ADC} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

BD:CD = 1:1

三角形ACDの面積 = 1/2

AG:GD = 2:1

三角形GDCの面積 = 1/6

## 問題23 & 24

1. 問題の内容

AD・AB, AE・ACの値を計算し、4点D, E, *, * が同一円周上にあるのはどれか、∠AED, ∠ECDをそれぞれ選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

AD・AB = 1・4 = 4

AE・AC = 3・5 = 15

方べきの定理より、AD・AB ≠ AE・ACなので、4点D, E, B, Cが同一円周上にはありません。しかし、AD/AE = 1/3, AC/AB = 5/4なので、三角形ADEと三角形ABCは相似ではありません。したがって4点D,E,B,Cは同一円周上にあるとは限りません。

与えられた図において、AD・AB = AE・ACが成り立たないため、D,E,B,Cは同一円周上に存在しない。しかし、D,E,Fは三角形ABCの内部にあるから、AD・AB＝4, AE・AC =

1

5.

AD・AB = AF・AC の場合は4点D, E, F, C が同一円周上に存在することになります。よって、4点D,E,B,Cは同一円周上にあるとは言えません。

よって4点D,E,B,Cが同一円周上にある場合に限定した議論はできず、∠AED, ∠ECDは定まりません。

3. 最終的な答え

AD・AB = 4

AE・AC = 15

4点D, E, B, Cが同一円周上にあるとは言えません。

したがって、∠AEDと∠ECDは特定できません。