(1) 以下の数の中から、3の倍数、4の倍数、5の倍数をそれぞれ全て選び出す。 与えられた数：129, 324, 357, 530, 692, 825 (2) 480の約数の個数を求める。 (3) 最大公約数が15、最小公倍数が180である2つの自然数(a, b)の組を全て求める。

1. 問題の内容

(1) 以下の数の中から、3の倍数、4の倍数、5の倍数をそれぞれ全て選び出す。

与えられた数：129, 324, 357, 530, 692, 825

(2) 480の約数の個数を求める。

(3) 最大公約数が15、最小公倍数が180である2つの自然数(a, b)の組を全て求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 3の倍数：各桁の数字の和が3の倍数であれば、その数は3の倍数である。

* 129：1 + 2 + 9 = 12。12は3の倍数なので、129は3の倍数である。

* 324：3 + 2 + 4 = 9。9は3の倍数なので、324は3の倍数である。

* 357：3 + 5 + 7 = 15。15は3の倍数なので、357は3の倍数である。

* 530：5 + 3 + 0 = 8。8は3の倍数ではないので、530は3の倍数ではない。

* 692：6 + 9 + 2 = 17。17は3の倍数ではないので、692は3の倍数ではない。

* 825：8 + 2 + 5 = 15。15は3の倍数なので、825は3の倍数である。

* 4の倍数：下2桁が4の倍数であれば、その数は4の倍数である。

* 129：29は4の倍数ではないので、129は4の倍数ではない。

* 324：24は4の倍数なので、324は4の倍数である。

* 357：57は4の倍数ではないので、357は4の倍数ではない。

* 530：30は4の倍数ではないので、530は4の倍数ではない。

* 692：92は4の倍数なので、692は4の倍数である。

* 825：25は4の倍数ではないので、825は4の倍数ではない。

* 5の倍数：一の位が0または5であれば、その数は5の倍数である。

* 129：一の位が9なので、129は5の倍数ではない。

* 324：一の位が4なので、324は5の倍数ではない。

* 357：一の位が7なので、357は5の倍数ではない。

* 530：一の位が0なので、530は5の倍数である。

* 692：一の位が2なので、692は5の倍数ではない。

* 825：一の位が5なので、825は5の倍数である。

(2)

480を素因数分解する。

$480 = 2^5 \times 3^1 \times 5^1$

約数の個数は、各素因数の指数の+1の積で求められる。

$(5+1) \times (1+1) \times (1+1) = 6 \times 2 \times 2 = 24$

(3)

2つの自然数をa, bとする。最大公約数が15なので、$a = 15x$, $b = 15y$ (x, yは互いに素な自然数)と表せる。

最小公倍数は180なので、$15xy = 180$

$xy = \frac{180}{15} = 12$

xとyは互いに素なので、(x, y)の組み合わせは(1, 12), (3, 4)となる。

よって、(a, b) = (15, 180), (45, 60)。aとbを入れ替えた組み合わせも含むので、(a, b) = (180, 15), (60, 45)も解となる。

3. 最終的な答え

(1)

* 3の倍数：129, 324, 357, 825

* 4の倍数：324, 692

* 5の倍数：530, 825

(2) 24個

(3) (15, 180), (180, 15), (45, 60), (60, 45)