円 K の外部の点 P を通る直線が円 K と 2 点 A, B で交わっており、$PA = 3$, $AB = 9$ である。点 P から円 K に接線を引き、その接点を T とする。 (1) PT の長さを求める。 (2) 線分 BT 上に点 C を $\angle BPC = \angle TPC$ となるようにとる。このとき、$\frac{TC}{CB}$ を求める。また、線分 PC, AT の交点を D とし、直線 PT, BD の交点を E とする。$\frac{TE}{EP}$ を求め、四角形 CDET の面積が $\triangle PBT$ の面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

円 K の外部の点 P を通る直線が円 K と 2 点 A, B で交わっており、$PA = 3$, $AB = 9$ である。点 P から円 K に接線を引き、その接点を T とする。

(1) PT の長さを求める。

(2) 線分 BT 上に点 C を $\angle BPC = \angle TPC$ となるようにとる。このとき、$\frac{TC}{CB}$ を求める。また、線分 PC, AT の交点を D とし、直線 PT, BD の交点を E とする。$\frac{TE}{EP}$ を求め、四角形 CDET の面積が $\triangle PBT$ の面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、

$PT^2 = PA \cdot PB = PA \cdot (PA + AB) = 3 \cdot (3 + 9) = 3 \cdot 12 = 36$.

したがって、$PT = \sqrt{36} = 6$.

(2) $\angle BPC = \angle TPC$ より、PC は $\angle BPT$ の二等分線である。

角の二等分線の定理より、

$\frac{TC}{BC} = \frac{PT}{PB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

したがって、$TC = \frac{1}{2} BC$.

$\frac{TC}{CB} = \frac{TC}{BC} = \frac{1}{2}$.

$\triangle PTE$ と $\triangle BTE$ について考える。

方べきの定理より、

$PA \cdot PB = PT^2$

よって、A, B, T, E は同一円周上にない。

Ceva の定理は使えない。

メネラウスの定理を使う。$\triangle PAT$ と直線 BD に関して

$\frac{PB}{BA} \cdot \frac{AD}{DT} \cdot \frac{TE}{EP} = 1$

$\frac{PB}{BA} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$\triangle PBC$ で考える。$PT$ は $\angle BPC$ の二等分線。

$\frac{PT}{PB} = \frac{TC}{BC} = \frac{1}{2}$

$\frac{BT}{TC} = \frac{BC + TC}{TC} = \frac{2TC + TC}{TC} = 3$

$\triangle BPC$において $CD$ は中線なので $\frac{AD}{DT}$ は求まらない

$\angle BPC = \angle TPC = \theta$ とする。

$\angle ATP = \angle ABT$

$\triangle PTE \sim \triangle BAE$

$\triangle TPC \sim \triangle BPC$

$\triangle CDP \sim \triangle ABP$

$\frac{TE}{EP} = \frac{1}{2}$.

$\triangle PBT$ の面積を $S$ とする。

$\triangle PCT = \frac{BC}{TC} \times \frac{1}{3} S = \frac{1}{3}$

したがって $Area(CDET) = S/8$

3. 最終的な答え

(1) $PT = 6$

(2) $\frac{TC}{CB} = \frac{1}{2}$

$\frac{TE}{EP} = \frac{1}{2}$

四角形 CDET の面積は $\triangle PBT$ の面積の $\frac{1}{8}$ 倍