円Kの外部の点Pを通る直線が円Kと2点A, Bで交わり、PA = 3, AB = 9である。点Pから円Kに接線を引き、その接点をTとする。 (1) PTの長さを求める。 (2) 線分BT上に点Cを∠BPC = ∠TPCとなるようにとる。TC/CBの値を求める。さらに、線分PC, ATの交点をDとし、直線PT, BDの交点をEとする。TE/EPの値を求め、四角形CDETの面積が三角形PBTの面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

円Kの外部の点Pを通る直線が円Kと2点A, Bで交わり、PA = 3, AB = 9である。点Pから円Kに接線を引き、その接点をTとする。

(1) PTの長さを求める。

(2) 線分BT上に点Cを∠BPC = ∠TPCとなるようにとる。TC/CBの値を求める。さらに、線分PC, ATの交点をDとし、直線PT, BDの交点をEとする。TE/EPの値を求め、四角形CDETの面積が三角形PBTの面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$。

$PA = 3, AB = 9$なので、$PB = PA + AB = 3 + 9 = 12$。

よって、$PT^2 = 3 \cdot 12 = 36$。

したがって、$PT = \sqrt{36} = 6$。

(2) ∠BPC = ∠TPCより、PCは∠BPTの二等分線である。

角の二等分線の性質より、$TC:CB = PT:PB = 6:12 = 1:2$。

したがって、$TC/CB = 1/2$。

次に、チェバの定理を△PATに適用すると、

$\frac{PE}{ET} \cdot \frac{TC}{CA} \cdot \frac{AD}{DP} = 1$。

メネラウスの定理を△PBTに直線ACを適用すると、

$\frac{BC}{CT} \cdot \frac{TD}{DA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{TD}{DA} \cdot \frac{3}{12} = 1$

$\frac{TD}{DA} = 2$

$\frac{AT}{AD} = 3$

メネラウスの定理を△APTに直線BDを適用すると、

$\frac{AE}{ET} \cdot \frac{TB}{BP} \cdot \frac{PD}{DA} = 1$

$\frac{TE}{EP} = \frac{BD}{DA} \cdot \frac{AT}{PB} = \frac{AT}{PD}$

$\frac{TE}{EP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{3} = 2/3$

△PBTと四角形CDETの面積比を求める。

$\triangle PAT = \frac{1}{2}PA\cdot PT \cdot \sin(\angle APT)$, $\triangle PBT = \frac{1}{2}PB\cdot PT \cdot \sin(\angle APT)$.

よって、$\frac{\triangle PAT}{\triangle PBT} = \frac{PA}{PB} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

$\frac{AD}{AT}=\frac{1}{3}$, $\frac{PD}{PC}$

四角形CDETの面積は△APT - △CDPとして計算される。

△PBTの面積をSとする。

面積比を計算すると、四角形CDETの面積はSの1/5倍になる。

3. 最終的な答え

(1) PT = 6

(2) TC/CB = 1/2

TE/EP = 3/2

四角形CDETの面積は△PBTの面積の 1/5 倍である。