定積分 $\int_{1}^{3} \frac{(x^2-1)^2}{x^4} dx$ を計算してください。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} \frac{(x^2-1)^2}{x^4} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分対象の関数を展開して整理します。

\begin{align*}

\frac{(x^2-1)^2}{x^4} &= \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^4} \\

&= \frac{x^4}{x^4} - \frac{2x^2}{x^4} + \frac{1}{x^4} \\

&= 1 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4} \\

&= 1 - 2x^{-2} + x^{-4}

\end{align*}

次に、積分を計算します。

\begin{align*}

\int_{1}^{3} (1 - 2x^{-2} + x^{-4}) dx &= \left[ x - 2\frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^{-3}}{-3} \right]_1^3 \\

&= \left[ x + \frac{2}{x} - \frac{1}{3x^3} \right]_1^3 \\

&= \left( 3 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3(3^3)} \right) - \left( 1 + \frac{2}{1} - \frac{1}{3(1^3)} \right) \\

&= \left( 3 + \frac{2}{3} - \frac{1}{81} \right) - \left( 1 + 2 - \frac{1}{3} \right) \\

&= 3 + \frac{2}{3} - \frac{1}{81} - 3 + \frac{1}{3} \\

&= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{81} \\

&= 1 - \frac{1}{81} \\

&= \frac{81}{81} - \frac{1}{81} \\

&= \frac{80}{81}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{80}{81}$