定積分 $\int_{0}^{2\pi} \cos^4 x \, dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \cos^4 x \, dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\cos^4 x$ を積分しやすい形に変形します。

まず、半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用います。

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (\frac{1 + \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

さらに、$\cos^2 2x$ に対して半角の公式を適用します。

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$

したがって、

$\cos^4 x = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x)$

$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$

よって、

$\int_{0}^{2\pi} \cos^4 x \, dx = \int_{0}^{2\pi} (\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) \, dx$

$= \int_{0}^{2\pi} \frac{3}{8} \, dx + \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\cos 2x \, dx + \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{8}\cos 4x \, dx$

$= \frac{3}{8} \int_{0}^{2\pi} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \cos 2x \, dx + \frac{1}{8} \int_{0}^{2\pi} \cos 4x \, dx$

$= \frac{3}{8} [x]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{2} [\frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{2\pi} + \frac{1}{8} [\frac{1}{4}\sin 4x]_{0}^{2\pi}$

$= \frac{3}{8} (2\pi - 0) + \frac{1}{4} (\sin 4\pi - \sin 0) + \frac{1}{32} (\sin 8\pi - \sin 0)$

$= \frac{3}{8}(2\pi) + \frac{1}{4}(0 - 0) + \frac{1}{32}(0 - 0)$

$= \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{4}$