定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 3x \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 3x \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ を用いて、被積分関数を変形します。

$\sin x \sin 3x = \frac{1}{2} [\cos(x - 3x) - \cos(x + 3x)] = \frac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos(4x)] = \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(4x)]$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 3x \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(4x)] \, dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} [\cos(2x) - \cos(4x)] \, dx$

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} [\cos(2x) - \cos(4x)] \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{4} \sin(4x) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{2} \sin(\pi) - \frac{1}{4} \sin(2\pi) \right) - \left(\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4} \sin(\frac{2\pi}{3}) \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ (0 - 0) - \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ - \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ - \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

ただし、計算ミスがないか確認します。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 3x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{4} \sin(4x) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2} \sin(\pi) - \frac{1}{4} \sin(2\pi) \right) - \left( \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4} \sin(\frac{2\pi}{3}) \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ (0 - 0) - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ -(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8}) \right] = \frac{1}{2} [-\frac{\sqrt{3}}{8}] = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{16}$