与えられた二次式 $2x^2 + (4y+5)x + (y+2)(2y+1)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $2x^2 + (4y+5)x + (y+2)(2y+1)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、定数項 $(y+2)(2y+1)$ を展開します。

$(y+2)(2y+1) = 2y^2 + y + 4y + 2 = 2y^2 + 5y + 2$

したがって、与えられた二次式は

$2x^2 + (4y+5)x + (2y^2 + 5y + 2)$

となります。

次に、この二次式を因数分解できるかどうか検討します。

$2x^2 + (4y+5)x + (2y^2 + 5y + 2)$

$= 2x^2 + (4y+5)x + (y+2)(2y+1)$

$= (x+y+2)(2x+2y+1)$

この因数分解が正しいか確認します。

$(x+2y+1)(2x+y+2) = 2x^2 + xy + 2x + 4xy + 2y^2 + 4y + 2x + y + 2$

$= 2x^2 + 2y^2 + 5xy + 4x + 5y + 2$

$(x+y+2)(2x+2y+1) = 2x^2 + 2xy + x + 2xy + 2y^2 + y + 4x + 4y + 2$

$= 2x^2 + 2y^2 + 4xy + 5x + 5y + 2$

定数項の $2y^2 + 5y + 2 = (y+2)(2y+1)$ をみて、

$2x^2$ が $2x$ と $x$ に分解されることから、

$(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形を仮定します。

$2x^2 + (4y+5)x + (y+2)(2y+1) = (2x+ay+b)(x+cy+d)$

$2ac + a = 4$

$2d + b = 5$

$bc = 2$

$ad = 1$

$(2x+y+2)(x+2y+1) = 2x^2 + 4xy + 2x + xy + 2y^2 + y + 2x + 4y + 2$

$= 2x^2 + 2y^2 + 5xy + 4x + 5y + 2$

$(x+2y+1)(2x+y+2) = 2x^2 + xy + 2x + 4xy + 2y^2 + 4y + 2x + y + 2$

$= 2x^2 + 2y^2 + 5xy + 4x + 5y + 2$

$2x^2 + (4y+5)x + (2y^2 + 5y + 2) = (2x+2y+1)(x+y+2)$

3. 最終的な答え

$(2x+2y+1)(x+y+2)$