行列 $A$ による線形変換 $T_A$ が、 $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、 $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ に写すとき、 (1) $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる $c_1, c_2$ を求める。 (2) (1)の結果を用いて、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を求める。 (3) 上の条件を満たす行列 $A$ の例を1つ求める。

1. 問題の内容

行列 $A$ による線形変換 $T_A$ が、

$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、

$\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ に写すとき、

(1) $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる $c_1, c_2$ を求める。

(2) (1)の結果を用いて、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を求める。

(3) 上の条件を満たす行列 $A$ の例を1つ求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

この式は、以下の連立一次方程式に対応する。

$c_1 - c_2 = 0$

$-2c_1 + 3c_2 = -2$

$c_1 - c_2 = 0$

最初の式と３つ目の式は同じなので、

$c_1 = c_2$

これを2番目の式に代入すると、

$-2c_1 + 3c_1 = -2$

$c_1 = -2$

したがって、$c_2 = -2$

よって、$c_1 = -2, c_2 = -2$

(2)

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = T_A \left( c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right)$

$= c_1 T_A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 T_A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

$= -2 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + (-2) \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

(3)

$A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - 2b + c \\ d - 2e + f \\ g - 2h + i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + 3b - c \\ -d + 3e - f \\ -g + 3h - i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

$a-2b+c = -2$

$-a+3b-c = 3$

足すと、 $b = 1$

$a-2+c = -2$ より、$a+c = 0$

$a = 0$ とすると、$c = 0$

$d-2e+f = 3$

$-d+3e-f = -4$

足すと、$e = -1$

$d+2+f = 3$ より、$d+f = 1$

$d = 0$ とすると、$f = 1$

$g-2h+i = 1$

$-g+3h-i = -4$

足すと、$h = -3$

$g+6+i = 1$ より、$g+i = -5$

$g = 0$ とすると、$i = -5$

したがって、

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & -5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

[c1, c2] = [-2, -2]

$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像: $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

行列Aの例: $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & -5 \end{pmatrix}$