与えられた等式 $A \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $A \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を計算する。

$8 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 \\ 16 \end{pmatrix}$

$9 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ 45 \end{pmatrix}$

$2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

したがって、右辺は

$\begin{pmatrix} 24 \\ 16 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 18 \\ 45 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24+18+2 \\ 16+45+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$

よって、等式は $A \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$ となる。

$A$ を $2 \times 3$ 行列 $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8a + 9b + 2c \\ 8d + 9e + 2f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$

これは不定方程式であり、$A$ は一意に定まらない。しかし、問題文から、Aは行列とあるのみで、特に条件がないため、

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$ と置いたとき、$8a+9b+2c = 44$ かつ $8d+9e+2f = 65$ を満たすものが答えとなる。

たとえば、$a = 5.5, b=0, c=0, d = 8.125, e=0, f=0$とすれば、$\begin{pmatrix} 5.5 & 0 & 0 \\ 8.125 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$

また、たとえば、$a = 1, b = 4, c = 0, d = 2, e=5, f=0$ とすれば、$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 61 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$

問題文に不備がある。不定方程式である。

Aの具体的な値を定めることは不可能である。

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$ であり、$8a + 9b + 2c = 44$ かつ $8d + 9e + 2f = 65$ を満たす。Aは一意に定まらない。