与えられた多項式 $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与式を整理して、$x$について降べきの順に並べます。

$x^2 + (y-z)x - 2y^2 + yz$

次に、$x$について整理した式を因数分解するために、$x$を含まない部分 $-2y^2+yz$ を因数分解します。

$-2y^2 + yz = y(-2y+z)$

ここで、与式全体を因数分解した結果が $(x+Ay)(x+By)$ の形になると仮定します。このとき、$A$と$B$は定数または$y$と$z$の式であるとします。この式を展開すると、

$x^2 + (A+B)yx + AB y^2$

となります。与式の$x$の係数は $y-z$であり、$y^2$の係数は $-2$であることから、

$A+B = 1-\frac{z}{y}$

$AB = -2 + \frac{z}{y}$

この連立方程式を解く代わりに、元々の式 $x^2 + (y-z)x - 2y^2 + yz$ を見ると、次のように変形できる可能性があります。

$x^2 + (y-z)x - (2y^2 - yz) = x^2 + (y-z)x - y(2y-z)$

因数分解の結果が $(x+ay)(x+by)$ の形になるとすると、$a$と$b$は定数であり、$ab=-2y+z$で$a+b=1-\frac{z}{y}$を満たす必要があります。

与えられた多項式を次のように並べ替えます。

$x^2 + xy - zx - 2y^2 + yz$

ここで、$x^2 + xy - zx = x(x+y-z)$ となります。

与式全体を $(x+ay)(x+by)$ の形に因数分解することを試みます。

$x^2 + (a+b)xy + aby^2$

ここで、与式と比較して、$a+b = 1-\frac{z}{y}$　と $aby^2 = -2y^2 + yz$ が成り立つ必要があります。よって、$ab = -2+\frac{z}{y}$.

$a, b$について解くことは困難です。

式を次のように変形してみます。

$x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx = x^2 + xy - zx - 2y^2 + yz = x(x+y-z) - y(2y-z)$

もし $(x - y + z)$ が因数を持つと仮定すると、

$(x - y + z)(x+ay+bz) = x^2 + (a-1)xy + (b+1)xz + (-a-b)y^2 + (b-a)yz + bz^2$

与えられた式と係数を比較すると、

$a-1 = 1, b+1 = -1$

$-a-b = -2, b-a = 1$

これは不可能。

$(x+y)(x-2y)$

試行錯誤から、与えられた式は $(x+2y)(x-y)+ yz - zx = (x-y)(x+2y) + z(y-x) = (x-y)(x+2y - z)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(x-y)(x+2y-z)$