与えられた行列 $A$ が定める線形写像 $T_A$ について、ベクトル空間 $V$ から $W$ への写像であるとき、$V$ と $W$ の次元を求め、さらに $V$ の基本ベクトル $e_2$ の $T_A$ による像の第3成分を求める問題です。 行列 $A$ は $A = \begin{pmatrix} -23 & 1 & 4 \\ -7 & 12 & 18 \\ -1 & -11 & 5 \\ -20 & 23 & -16 \end{pmatrix}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が定める線形写像 $T_A$ について、ベクトル空間 $V$ から $W$ への写像であるとき、$V$ と $W$ の次元を求め、さらに $V$ の基本ベクトル $e_2$ の $T_A$ による像の第3成分を求める問題です。 行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} -23 & 1 & 4 \\ -7 & 12 & 18 \\ -1 & -11 & 5 \\ -20 & 23 & -16 \end{pmatrix}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$T_A$ が定める線形写像の定義域と値域の次元を求めます。行列 $A$ は $4 \times 3$ の行列であるため、$T_A$ は3次元ベクトル空間から4次元ベクトル空間への写像です。つまり、$V$ の次元は 3 であり、$W$ の次元は 4 です。

次に、Vの基本ベクトル $e_2$ の $T_A$ による像を求めます。$e_2$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ というベクトルです。 $T_A(e_2)$ は行列 $A$ と $e_2$ の積で計算できます。

$T_A(e_2) = A e_2 = \begin{pmatrix} -23 & 1 & 4 \\ -7 & 12 & 18 \\ -1 & -11 & 5 \\ -20 & 23 & -16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 12 \\ -11 \\ 23 \end{pmatrix}$

したがって、$T_A(e_2)$ の第3成分は -11 です。

3. 最終的な答え

- $V$ の次元：3

- $W$ の次元：4

- $T_A(e_2)$ の第3成分：-11