与えられた式を因数分解する問題です。ここでは、2番目の式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。ここでは、2番目の式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式 $(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc = 2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = 2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

次に、この式を因数分解します。

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc = a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 3bc) + bc(b+c)$

この式を $a$ の降べきの順に整理して、さらに因数分解を試みます。

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + bc + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b(b+c) + c(2b+c)) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + bc + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= (a+b)(a+c)(b+c)$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(a+c)(b+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(a+c)(b+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

最終的な答え： $(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(b+c)(c+a)$.

The answer is: $(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b)(a+c)(b+c)$.

The answer is $(a+b)(a+c)(b+c)$.

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

This result appears incorrect, so I will re-evaluate the steps.

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (ab+ac+b^2+bc)(c+a)+abc = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc + abc = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$.

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(bc+ab+c^2+ac)+abc = abc+a^2b+ac^2+a^2c + b^2c+ab^2+bc^2+abc+abc = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+3abc$.

The correct answer is: $(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)$.

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$