2つの式を因数分解する問題です。 (2) $x^4 - 6x^2 + 1$ (4) $x^4 + 4y^4$

1. 問題の内容

2つの式を因数分解する問題です。

(2) $x^4 - 6x^2 + 1$

(4) $x^4 + 4y^4$

2. 解き方の手順

(2) $x^4 - 6x^2 + 1$ は、まず平方完成を考えます。

$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2$ であることを利用し、以下の手順で変形します。

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2 = (x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、以下のように因数分解できます。

$(x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = (x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

(4) $x^4 + 4y^4$ は、同様に平方完成を考えます。

$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、以下のように因数分解できます。

$(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$

3. 最終的な答え

(2) $(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)$

(4) $(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$