線形1階微分方程式 $x' = f(t)x + g(t)$ (2) に関する問題です。具体的には、斉次方程式の解の線形結合が解になることの証明、斉次方程式の一般解の導出、定数変化法による特殊解の導出、そして、具体的な微分方程式の一般解を定数変化法と未定係数法で求める問題です。

1. 問題の内容

線形1階微分方程式 $x' = f(t)x + g(t)$ (2) に関する問題です。具体的には、斉次方程式の解の線形結合が解になることの証明、斉次方程式の一般解の導出、定数変化法による特殊解の導出、そして、具体的な微分方程式の一般解を定数変化法と未定係数法で求める問題です。

2. 解き方の手順

1) $x_1$と$x_2$が$x' = f(t)x$の解であるとき、$\alpha x_1 + \beta x_2$も解になることを示す。

$x_1' = f(t)x_1$ かつ $x_2' = f(t)x_2$ が成り立つ。

線形結合$\alpha x_1 + \beta x_2$を微分すると、

$(\alpha x_1 + \beta x_2)' = \alpha x_1' + \beta x_2' = \alpha f(t)x_1 + \beta f(t)x_2 = f(t)(\alpha x_1 + \beta x_2)$

したがって、$\alpha x_1 + \beta x_2$も$x' = f(t)x$の解である。

2) 斉次方程式$x' = f(t)x$を変数分離法で解く。

$\frac{dx}{dt} = f(t)x$

$\frac{dx}{x} = f(t)dt$

$\int \frac{dx}{x} = \int f(t)dt$

$\ln|x| = \int f(t)dt + C'$

$x = e^{\int f(t)dt + C'} = e^{C'}e^{\int f(t)dt} = Ce^{\int f(t)dt}$ (Cは任意定数)

3) 定数変化法で方程式(2)の特殊解$x_p$を求める。

$x_p(t) = u(t)e^{\int f(t)dt}$と仮定する。

$x_p' = u'(t)e^{\int f(t)dt} + u(t)f(t)e^{\int f(t)dt}$

これを方程式(2)に代入すると、

$u'(t)e^{\int f(t)dt} + u(t)f(t)e^{\int f(t)dt} = f(t)u(t)e^{\int f(t)dt} + g(t)$

$u'(t)e^{\int f(t)dt} = g(t)$

$u'(t) = g(t)e^{-\int f(t)dt}$

$u(t) = \int g(t)e^{-\int f(t)dt}dt$

したがって、$x_p(t) = e^{\int f(t)dt} \int g(t)e^{-\int f(t)dt}dt$

4) $x_g(t) + x_p(t)$が式(2)の解であることを示す。

$x_g(t)$は$x' = f(t)x$の解なので、$x_g'(t) = f(t)x_g(t)$

$x_p(t)$は$x' = f(t)x + g(t)$の特殊解なので、$x_p'(t) = f(t)x_p(t) + g(t)$

よって、$(x_g(t) + x_p(t))' = x_g'(t) + x_p'(t) = f(t)x_g(t) + f(t)x_p(t) + g(t) = f(t)(x_g(t) + x_p(t)) + g(t)$

したがって、$x_g(t) + x_p(t)$は式(2)の解である。

5) 次の微分方程式の一般解を定数変化法と未定係数法それぞれで求める。

1) $x' = x + e^{2t}$

定数変化法：

$f(t) = 1, g(t) = e^{2t}$

$\int f(t)dt = \int dt = t$

$x_g(t) = Ce^{t}$

$x_p(t) = e^{t} \int e^{2t}e^{-t}dt = e^{t} \int e^{t}dt = e^{t}e^{t} = e^{2t}$

$x(t) = x_g(t) + x_p(t) = Ce^{t} + e^{2t}$

未定係数法：

$x' = x + e^{2t}$

斉次方程式 $x' = x$ の解は $x = Ce^t$

特殊解を $x_p = Ae^{2t}$ と仮定する。

$x_p' = 2Ae^{2t}$

$2Ae^{2t} = Ae^{2t} + e^{2t}$

$A = 1$

$x_p = e^{2t}$

$x = Ce^t + e^{2t}$

2) $x' = -\frac{2x}{t} + t^2 + 2t - 3$

定数変化法：

$f(t) = -\frac{2}{t}, g(t) = t^2 + 2t - 3$

$\int f(t)dt = \int -\frac{2}{t}dt = -2\ln|t| = \ln(t^{-2})$

$x_g(t) = Ct^{-2}$

$x_p(t) = t^{-2} \int (t^2 + 2t - 3)t^{2}dt = t^{-2} \int (t^4 + 2t^3 - 3t^2)dt$

$= t^{-2} (\frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{2}t^4 - t^3) = \frac{1}{5}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - t$

$x(t) = Ct^{-2} + \frac{1}{5}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - t$

未定係数法：

$x' = -\frac{2x}{t} + t^2 + 2t - 3$

これは、$x' + \frac{2}{t}x = t^2 + 2t - 3$という形。

まず斉次方程式 $x' + \frac{2}{t}x = 0$ を解く。

$\frac{dx}{x} = -\frac{2}{t}dt$

$\ln|x| = -2\ln|t| + C' = \ln(t^{-2}) + C'$

$x = Ct^{-2}$

次に特殊解を求める。

$x_p = At^3 + Bt^2 + Ct$ と仮定する。

$x_p' = 3At^2 + 2Bt + C$

$3At^2 + 2Bt + C + \frac{2}{t}(At^3 + Bt^2 + Ct) = t^2 + 2t - 3$

$3At^2 + 2Bt + C + 2At^2 + 2Bt + 2Ct/t= t^2 + 2t - 3$

$5At^2 + 4Bt + 3C = t^2 + 2t - 3$

$5A = 1 \Rightarrow A = 1/5$

$4B = 2 \Rightarrow B = 1/2$

$3C = -3 \Rightarrow C = -1$

$x_p = \frac{1}{5}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - t$

$x = Ct^{-2} + \frac{1}{5}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - t$

3. 最終的な答え

1) 任意の定数$\alpha, \beta$に対して、$\alpha x_1 + \beta x_2$ も $x' = f(t)x$ の解である。

2) $x_g(t) = Ce^{\int f(t)dt}$ (Cは任意定数)

3) $x_p(t) = e^{\int f(t)dt} \int g(t)e^{-\int f(t)dt}dt$

4) $x_g(t) + x_p(t)$は$x' = f(t)x + g(t)$の解である。

5)

1) $x' = x + e^{2t}$ の一般解: $x = Ce^t + e^{2t}$ (定数変化法と未定係数法の結果は同じ)

2) $x' = -\frac{2x}{t} + t^2 + 2t - 3$ の一般解: $x = Ct^{-2} + \frac{1}{5}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - t$ (定数変化法と未定係数法の結果は同じ)