与えられた数学の問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) $(x-2)^6$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。 (2) $\frac{i}{2+i}$ を $a+bi$ の形で表す (ただし、$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位)。 (3) 2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta$ の値を求める。 (4) $P(x) = x^3 - 7x - 6$ は $x+1$ で割り切れる。$P(x)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) $(x-2)^6$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。

(2) $\frac{i}{2+i}$ を $a+bi$ の形で表す (ただし、$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位)。

(3) 2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta$ の値を求める。

(4) $P(x) = x^3 - 7x - 6$ は $x+1$ で割り切れる。$P(x)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて展開式を考え、$x^4$ の項を求める。

$(x-2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-2)^k$

$x^4$ の項は、$k=2$ のときなので、

$\binom{6}{2} x^{4} (-2)^2 = 15 x^4 (4) = 60 x^4$

したがって、$x^4$ の係数は60。

(2) 分母を有理化する。

$\frac{i}{2+i} = \frac{i(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2i - i^2}{4 - i^2} = \frac{2i + 1}{4+1} = \frac{1+2i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$

したがって、$a = \frac{1}{5}, b = \frac{2}{5}$。

(3) 解と係数の関係を利用する。

$2x^2 - 4x + 1 = 0$ より、$\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$, $\alpha\beta = \frac{1}{2}$。

$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta = \alpha\beta(\beta + \alpha) = \frac{1}{2} (2) = 1$。

(4) $P(x) = x^3 - 7x - 6$ は $x+1$ で割り切れるので、$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$。

$P(x)$ を $x+1$ で割ると、

$x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x^2 - x - 6) = (x+1)(x-3)(x+2)$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) $\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$

(3) 1

(4) $(x+1)(x-3)(x+2)$