2次方程式 $x^2 + 2mx + m^2 + 2m - 8 = 0$ が異なる2つの負の解をもつとき、定数 $m$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m^2 + 2m - 8 = 0$ が異なる2つの負の解をもつとき、定数 $m$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

2つの解がともに負である条件は、解と係数の関係から、解の和が負であり、解の積が正であることです。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (2m)^2 - 4(m^2 + 2m - 8) = 4m^2 - 4m^2 - 8m + 32 = -8m + 32$

$D > 0$ より、

$-8m + 32 > 0$

$8m < 32$

$m < 4$

次に、解と係数の関係を考えます。

2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -2m$

$\alpha \beta = m^2 + 2m - 8$

2つの解がともに負である条件より、

$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$

$-2m < 0$ より $m > 0$

$m^2 + 2m - 8 > 0$ より $(m+4)(m-2) > 0$

したがって、$m < -4$ または $m > 2$

以上の条件をまとめると、

$m < 4$

$m > 0$

$m < -4$ または $m > 2$

これらをすべて満たす $m$ の範囲は、$2 < m < 4$ です。

3. 最終的な答え

$2 < m < 4$