数列 $\{a_n\}$: 1, 3, 7, 13, 21, ... の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$: 1, 3, 7, 13, 21, ... の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を求めます。

与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると、階差数列 $\{b_n\}$ は以下のようになります。

$b_n = a_{n+1} - a_n$

与えられた数列の隣り合う項の差を計算すると、

3 - 1 = 2

7 - 3 = 4

13 - 7 = 6

21 - 13 = 8

となるため、階差数列は 2, 4, 6, 8, ... となります。

この階差数列 $\{b_n\}$ は初項が 2, 公差が 2 の等差数列であるため、その一般項は

$b_n = 2 + (n-1) \times 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$

となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるために、以下の公式を利用します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (n >= 2 のとき)

$a_1 = 1$ であるので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

これは $n=1$ のときも成り立ちます。 $a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - n + 1$