画像に写っている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。 * 問題8：塔の高さを求める問題 * 問題9：三角関数の値を求める問題 * 問題10：データの平均値と中央値を求める問題 * 問題11：式の計算問題 * 問題12：対数の値を求める問題 * 問題13：2次関数の係数を求める問題 * 問題14：接線の方程式を求める問題 * 問題15：放物線と直線に囲まれた面積を求める問題

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。

* 問題8：塔の高さを求める問題

* 問題9：三角関数の値を求める問題

* 問題10：データの平均値と中央値を求める問題

* 問題11：式の計算問題

* 問題12：対数の値を求める問題

* 問題13：2次関数の係数を求める問題

* 問題14：接線の方程式を求める問題

* 問題15：放物線と直線に囲まれた面積を求める問題

2. 解き方の手順

* 問題8

塔の高さ$h$、地点Aから塔の頂点を見上げた角度$45^\circ$、地点Bから塔の頂点を見上げた角度$60^\circ$、地点AからBまでの距離$100m$。

地点Aから塔までの距離を$x$とすると、地点Bから塔までの距離は$x-100$となる。

$\tan 45^\circ = \frac{h}{x}$ より $x=h$

$\tan 60^\circ = \frac{h}{x-100}$ より $\sqrt{3} = \frac{h}{h-100}$

$h = \sqrt{3}(h-100)$

$h = \sqrt{3}h - 100\sqrt{3}$

$h(\sqrt{3}-1) = 100\sqrt{3}$

$h = \frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{100\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{100(3+\sqrt{3})}{2} = 50(3+\sqrt{3}) \approx 50(3+1.732) = 50 \times 4.732 = 236.6$

* 問題9

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\theta$ の値を求める。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$

$(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} = 1 + \sin 2\theta$

$\sin 2\theta = \frac{9}{25} - 1 = -\frac{16}{25}$

* 問題10

データ：80, 70, 50, 85, 45, 90

平均値：$\frac{80+70+50+85+45+90}{6} = \frac{420}{6} = 70$

中央値：データを並べ替えると45, 50, 70, 80, 85, 90。中央の2つの値は70と80なので、中央値は$\frac{70+80}{2} = 75$

* 問題11

(a) $(\sqrt{3})^4 \times 3^{-2} \div (\frac{1}{3})^{-3} \times \sqrt{81}$

$= 3^2 \times \frac{1}{3^2} \div 3^3 \times 9 = 9 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{27} \times 9 = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

(b) $(\log_{10}2)^2 + \log_{10}4 \cdot \log_{10}50 - (\log_{10}50)^2$

$= (\log_{10}2)^2 + 2\log_{10}2 \cdot \log_{10}(5\times 10) - (\log_{10}(5\times 10))^2$

$= (\log_{10}2)^2 + 2\log_{10}2 (\log_{10}5 + 1) - (\log_{10}5 + 1)^2$

$= (\log_{10}2)^2 + 2\log_{10}2 (\log_{10}\frac{10}{2} + 1) - (\log_{10}\frac{10}{2} + 1)^2$

$= (\log_{10}2)^2 + 2\log_{10}2 (1 - \log_{10}2 + 1) - (1 - \log_{10}2 + 1)^2$

$= (\log_{10}2)^2 + 2\log_{10}2 (2 - \log_{10}2) - (2 - \log_{10}2)^2$

$= (\log_{10}2)^2 + 4\log_{10}2 - 2(\log_{10}2)^2 - (4 - 4\log_{10}2 + (\log_{10}2)^2)$

$= -\2(\log_{10}2)^2 + 4\log_{10}2 - 4 + 4\log_{10}2 - (\log_{10}2)^2$

$= -(\log_{10}2)^2 +8log_{10}2 - 4$

$=-(log_{10}2 - 4)^2 + 12$

$(\log_{10}2 - 4)^2 = log_{10}4-8log_{10}2 +16$

$= (0.3010-4)^2 +12$

$=0$

$=4 \log_{10}2 - 4$

$4\log_{10}2 -4 = 4(0.3010) - 4 = 1.2040 - 4= 1.2040 - 4 = -2.796 \approx -2.8$

答えは-2.796

* 問題12

(a) $\log_{10} 18 = \log_{10}(2 \times 3^2) = \log_{10}2 + 2\log_{10}3 = 0.3010 + 2 \times 0.4771 = 0.3010 + 0.9542 = 1.2552$

(b) $\log_{10} 3.6 = \log_{10}(\frac{36}{10}) = \log_{10}36 - \log_{10}10 = \log_{10}(2^2 \times 3^2) - 1 = 2\log_{10}2 + 2\log_{10}3 - 1 = 2 \times 0.3010 + 2 \times 0.4771 - 1 = 0.6020 + 0.9542 - 1 = 1.5562 - 1 = 0.5562$

* 問題13

$f(x) = Wx^2 + Yx + Z$

$f(0) = 8$ より $Z = 8$

$f'(x) = 2Wx + Y$

$f'(-1) = 9$ より $-2W + Y = 9$

$f'(2) = -3$ より $4W + Y = -3$

2つの式を引くと $6W = -12$ より $W = -2$

$-2(-2) + Y = 9$ より $4 + Y = 9$ よって $Y = 5$

したがって $f(x) = -2x^2 + 5x + 8$

* 問題14

$f(x) = -x^3 + 8x^2 + 4x$

$f'(x) = -3x^2 + 16x + 4$

点P(-1,5)における接線の傾きは$f'(-1)$である。

$f'(-1) = -3(-1)^2 + 16(-1) + 4 = -3 - 16 + 4 = -15$

接線の方程式は $y - 5 = -15(x + 1)$

$y = -15x - 15 + 5$

$y = -15x - 10$

* 問題15

$y = x^2 - 6$ と $y = -x$ の交点を求める。

$x^2 - 6 = -x$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

交点のx座標は-3と2

面積$S = \int_{-3}^{2} (-x - (x^2 - 6))dx = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6)dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x]_{-3}^{2} = (-\frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 12) - (-\frac{-27}{3} - \frac{9}{2} - 18) = -\frac{8}{3} - 2 + 12 - (9 - \frac{9}{2} - 18) = -\frac{8}{3} + 10 - (-9 - \frac{9}{2}) = -\frac{8}{3} + 10 + 9 + \frac{9}{2} = 19 + \frac{9}{2} - \frac{8}{3} = 19 + \frac{27-16}{6} = 19 + \frac{11}{6} = \frac{114+11}{6} = \frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

* 問題8：h = 236.6

* 問題9：sin 2θ = -16/25

* 問題10：平均値 = 70, 中央値 = 75

* 問題11：(a) 1/3 , (b) -2.796

* 問題12：(a) 1.2552, (b) 0.5562

* 問題13：f(x) = -2x^2 + 5x + 8

* 問題14：y = -15x - 10

* 問題15：S = 125/6