質量 $m$ の帆船模型が初速度 $v_0$ で滑らかな水平面上を動き始め、空気抵抗 $-bv$ (bは正の定数) を受けて減速する。帆船の速度 $v$ を、動き始めてからの時間 $t$ の関数として表す式を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

質量 $m$ の帆船模型が初速度 $v_0$ で滑らかな水平面上を動き始め、空気抵抗 $-bv$ (bは正の定数) を受けて減速する。帆船の速度 $v$ を、動き始めてからの時間 $t$ の関数として表す式を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

ニュートンの運動方程式を立てます。

$ma = -bv$

ここで、$a = \frac{dv}{dt}$ なので、

$m \frac{dv}{dt} = -bv$

この微分方程式を解きます。

$\frac{dv}{v} = -\frac{b}{m} dt$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dv}{v} = \int -\frac{b}{m} dt$

$\ln|v| = -\frac{b}{m} t + C$

$v = e^{-\frac{b}{m} t + C} = e^C e^{-\frac{b}{m} t}$

初期条件 $t=0$ のとき $v=v_0$ を代入すると、

$v_0 = e^C e^0 = e^C$

よって、$e^C = v_0$

したがって、

$v = v_0 e^{-\frac{b}{m} t}$

3. 最終的な答え

$v = v_0 e^{-\frac{b}{m}t}$

選択肢の1が正解です。