熱量 $Q$ が完全微分でない（不完全微分である）ことを、与えられたヒントを用いて計算によって示す。ヒントとして、内部エネルギーの変化 $dU$ が熱量変化 $d'Q$ と仕事 $d'W$ の和で表され、さらに $d'W = -PdV$ （$P$ は圧力、$V$ は体積）で与えられることが示されている。ここで、$d'$ は不完全微分を表す記号である。

1. 問題の内容

熱量 $Q$ が完全微分でない（不完全微分である）ことを、与えられたヒントを用いて計算によって示す。ヒントとして、内部エネルギーの変化 $dU$ が熱量変化 $d'Q$ と仕事 $d'W$ の和で表され、さらに $d'W = -PdV$ （$P$ は圧力、$V$ は体積）で与えられることが示されている。ここで、$d'$ は不完全微分を表す記号である。

2. 解き方の手順

完全微分かどうかを判定するには、偏微分の交差微分が一致するかどうかを確認する。もし、$dU$ が $P$ と $V$ の関数であるならば、$dU = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P dV$ と表現できるはずである。しかし、ここでは$dU = d'Q - PdV$ という関係式が与えられているため、$d'Q$を$dP$と$dV$の関数として表すことを試みる。

$dU = d'Q - PdV$ を変形して、$d'Q = dU + PdV$ を得る。ここで、$U$ が $P$ と $V$ の関数であると仮定すると、$dU$ は完全微分である。$dU = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P dV$ を代入すると、

$d'Q = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P dV + PdV = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP + \left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right) dV$

ここで、$d'Q = M(P, V) dP + N(P, V) dV$ と表すと、$M(P, V) = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V$ であり、$N(P, V) = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P$ である。

$Q$ が完全微分であるためには、$\frac{\partial M}{\partial V} = \frac{\partial N}{\partial P}$ が成り立つ必要がある。

$\frac{\partial M}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V} \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V = \frac{\partial^2 U}{\partial V \partial P}$

$\frac{\partial N}{\partial P} = \frac{\partial}{\partial P} \left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right) = \frac{\partial^2 U}{\partial P \partial V} + 1$

したがって、$\frac{\partial M}{\partial V} \neq \frac{\partial N}{\partial P}$ である。なぜならば、$\frac{\partial^2 U}{\partial V \partial P} = \frac{\partial^2 U}{\partial P \partial V}$ (Uが十分に滑らかな関数であるとき) であるが、$\frac{\partial^2 U}{\partial V \partial P} \neq \frac{\partial^2 U}{\partial P \partial V} + 1$ だからである。

3. 最終的な答え

$\frac{\partial M}{\partial V} \neq \frac{\partial N}{\partial P}$ なので、$Q$ は完全微分ではない（不完全微分である）。