半径 $a$、長さ $h$ の円柱内に、電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ で電荷が分布している。ここで、$q_0$ は定数、$r$ は円柱の中心軸 (z軸) からの距離である。円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。

## 問題3

1. 問題の内容

半径 $a$、長さ $h$ の円柱内に、電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ で電荷が分布している。ここで、$q_0$ は定数、$r$ は円柱の中心軸 (z軸) からの距離である。円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。

2. 解き方の手順

円柱座標系 $(r, \theta, z)$ を用いる。微小体積要素 $dV$ は $dV = r dr d\theta dz$ と表される。

総電荷量 $Q$ は、電荷密度 $\rho$ を円柱全体で積分することで得られる。

$Q = \int \rho dV = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^a q_0(a-r) r dr d\theta dz$

まず、$r$ に関する積分を行う。

$\int_0^a q_0 (a-r) r dr = q_0 \int_0^a (ar - r^2) dr = q_0 \left[\frac{1}{2}ar^2 - \frac{1}{3}r^3\right]_0^a = q_0 \left(\frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{3}a^3\right) = \frac{1}{6} q_0 a^3$

次に、$\theta$ に関する積分を行う。

$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$

最後に、$z$ に関する積分を行う。

$\int_0^h dz = h$

したがって、総電荷量 $Q$ は

$Q = \frac{1}{6}q_0 a^3 \cdot 2\pi \cdot h = \frac{1}{3} \pi q_0 a^3 h$

3. 最終的な答え

$Q = \frac{1}{3} \pi q_0 a^3 h$