ボーアモデルにおける電子のエネルギー準位の式 $E_n = -13.6/n^2 \ [eV]$ を用いて、以下の2つの場合について電子のエネルギーを求める。 * 電子が $n=2$ の軌道にある場合 * 電子が $n=3$ の軌道にある場合

## 問題の回答

### 問題7：電子のエネルギー準位

1. **問題の内容**

ボーアモデルにおける電子のエネルギー準位の式 $E_n = -13.6/n^2 \ [eV]$ を用いて、以下の2つの場合について電子のエネルギーを求める。

* 電子が $n=2$ の軌道にある場合

* 電子が $n=3$ の軌道にある場合

2. **解き方の手順**

エネルギー準位の式 $E_n = -13.6/n^2 \ [eV]$ に、それぞれの $n$ の値を代入して計算する。

* $n=2$ の場合:

$E_2 = -13.6/2^2 = -13.6/4 = -3.4 \ [eV]$

* $n=3$ の場合:

$E_3 = -13.6/3^2 = -13.6/9 \approx -1.51 \ [eV]$

3. **最終的な答え**

* 電子が $n=2$ の軌道にある場合のエネルギー： $-3.4 \ [eV]$

* 電子が $n=3$ の軌道にある場合のエネルギー：$-1.51 \ [eV]$

### 問題8：水素原子の電子が基底状態(n=1)から第一励起状態(n=2)へ遷移するとき、吸収する光の波長は何 nm か？

1. **問題の内容**

水素原子の電子が基底状態 ($n=1$) から第一励起状態 ($n=2$) へ遷移する際に吸収する光の波長を求める。ボーアのエネルギー準位式 $E_n = -13.6/n^2 \ [eV]$、エネルギーと波長の関係 $E = hc/\lambda$、及び定数 $h = 6.626 \times 10^{-34} \ [Js]$、 $c = 3.00 \times 10^8 \ [m/s]$、 $1eV = 1.602 \times 10^{-19} \ [J]$ を用いる。

2. **解き方の手順**

まず、$n=1$ と $n=2$ のエネルギー準位を求める。

* $n=1$ の場合:

$E_1 = -13.6/1^2 = -13.6 \ [eV]$

* $n=2$ の場合:

$E_2 = -13.6/2^2 = -13.6/4 = -3.4 \ [eV]$

次に、エネルギー準位の差 $\Delta E$ を求める。これは吸収される光のエネルギーに相当する。

$\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ [eV]$

$\Delta E$ をジュール $[J]$ に変換する。

$\Delta E = 10.2 \ [eV] \times 1.602 \times 10^{-19} \ [J/eV] = 1.634 \times 10^{-18} \ [J]$

エネルギーと波長の関係式 $E = hc/\lambda$ を用いて、波長 $\lambda$ を求める。

$\lambda = hc / \Delta E$

$\lambda = (6.626 \times 10^{-34} \ [Js] \times 3.00 \times 10^8 \ [m/s]) / (1.634 \times 10^{-18} \ [J])$

$\lambda = (1.988 \times 10^{-25} \ [Jm]) / (1.634 \times 10^{-18} \ [J])$

$\lambda = 1.217 \times 10^{-7} \ [m]$

波長 $\lambda$ をナノメートル $[nm]$ に変換する。

$\lambda = 1.217 \times 10^{-7} \ [m] \times (10^9 \ [nm/m]) = 121.7 \ [nm]$

3. **最終的な答え**

吸収する光の波長： $122 \ [nm]$ (有効数字3桁)