二つの力 $F_1$ と $F_2$ が質点に作用している。$F_1$ と $F_2$ のなす角が $\theta$ [rad] であるとき、$F_1$ と $F_2$ の合力 $F$ の大きさ $|F|$ 、角度 $\theta_1$、$\theta_2$ [rad] を求めなさい。ただし、学籍番号の下4桁を3で割った余りが0の学生は[a]の条件で答える。 [a] の条件は $F_1 = 100$ N, $F_2 = 120$ N, $\theta = \frac{\pi}{3}$ rad である。

1. 問題の内容

二つの力 $F_1$ と $F_2$ が質点に作用している。$F_1$ と $F_2$ のなす角が $\theta$ [rad] であるとき、$F_1$ と $F_2$ の合力 $F$ の大きさ $|F|$ 、角度 $\theta_1$、$\theta_2$ [rad] を求めなさい。ただし、学籍番号の下4桁を3で割った余りが0の学生は[a]の条件で答える。

[a] の条件は $F_1 = 100$ N, $F_2 = 120$ N, $\theta = \frac{\pi}{3}$ rad である。

2. 解き方の手順

まず、$F_1$ と $F_2$ の合力 $F$ の大きさ $|F|$ を求める。これは余弦定理を用いることで求められる。

$|F|^2 = |F_1|^2 + |F_2|^2 + 2|F_1||F_2|\cos(\theta)$

$|F|^2 = 100^2 + 120^2 + 2 \times 100 \times 120 \times \cos(\frac{\pi}{3})$

$|F|^2 = 10000 + 14400 + 24000 \times \frac{1}{2}$

$|F|^2 = 10000 + 14400 + 12000$

$|F|^2 = 36400$

$|F| = \sqrt{36400} = 20\sqrt{91} \approx 190.79$ N

次に、角度 $\theta_1$ を求める。正弦定理を用いる。

$\frac{|F_2|}{\sin(\theta_1)} = \frac{|F|}{\sin(\theta)}$

$\sin(\theta_1) = \frac{|F_2| \sin(\theta)}{|F|}$

$\sin(\theta_1) = \frac{120 \times \sin(\frac{\pi}{3})}{20\sqrt{91}} = \frac{120 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{20\sqrt{91}} = \frac{60\sqrt{3}}{20\sqrt{91}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{91}}$

$\theta_1 = \arcsin(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{91}}) \approx \arcsin(0.556) \approx 0.589$ rad

$\theta_1 \approx 0.589 \times \frac{180}{\pi} \approx 33.73^\circ$

次に、角度 $\theta_2$ を求める。

$\theta_2 = \theta - \theta_1$

$\theta_2 = \frac{\pi}{3} - \theta_1 \approx 1.047 - 0.589 \approx 0.458$ rad

$\theta_2 \approx 0.458 \times \frac{180}{\pi} \approx 26.23^\circ$

3. 最終的な答え

$|F| = 20\sqrt{91} \approx 190.79$ N

$\theta_1 = \arcsin(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{91}}) \approx 0.589$ rad

$\theta_2 = \frac{\pi}{3} - \arcsin(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{91}}) \approx 0.458$ rad