水素原子の電子が基底状態 ($n=1$) から第一励起状態 ($n=2$) へ遷移するときに吸収する光の波長を求める問題です。ボーアのエネルギー準位式 $E_n = -13.6/n^2$ [eV]、エネルギーと波長の関係 $E = hc/\lambda$、プランク定数 $h=6.626 \times 10^{-34}$ [J⋅s]、光速 $c = 3.00 \times 10^8$ [m/s]、および $1 \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}$ [J] が与えられています。求める波長は nm 単位です。

1. 問題の内容

水素原子の電子が基底状態 ($n=1$) から第一励起状態 ($n=2$) へ遷移するときに吸収する光の波長を求める問題です。ボーアのエネルギー準位式 $E_n = -13.6/n^2$ [eV]、エネルギーと波長の関係 $E = hc/\lambda$、プランク定数 $h=6.626 \times 10^{-34}$ [J⋅s]、光速 $c = 3.00 \times 10^8$ [m/s]、および $1 \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}$ [J] が与えられています。求める波長は nm 単位です。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ と $n=2$ のときのエネルギー準位 $E_1$ と $E_2$ を計算します。

$E_1 = -13.6/1^2 = -13.6$ eV

$E_2 = -13.6/2^2 = -13.6/4 = -3.4$ eV

(2) エネルギー準位の差 $\Delta E = E_2 - E_1$ を計算します。

$\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2$ eV

(3) eV単位のエネルギー差をJ単位に変換します。

$\Delta E = 10.2 \text{ eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV} = 1.63404 \times 10^{-18}$ J

(4) エネルギーと波長の関係 $E = hc/\lambda$ を $\lambda$ について解きます。

$\lambda = hc/E$

(5) $\lambda$ に $h$, $c$, $\Delta E$ の値を代入して波長 $\lambda$ を計算します。

$\lambda = (6.626 \times 10^{-34} \text{ J⋅s} \times 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}) / (1.63404 \times 10^{-18} \text{ J})$

$\lambda = 1.21607 \times 10^{-7}$ m

(6) 波長を nm 単位に変換します。

$\lambda = 1.21607 \times 10^{-7} \text{ m} \times 10^9 \text{ nm/m} = 121.607 \text{ nm}$

(7) 有効数字を考慮して最終的な答えを求めます。与えられた定数から判断して、有効数字は3桁とします。

3. 最終的な答え

122 nm