光子対を発生させ、偏光板を様々な角度$\theta, \theta', \phi, \phi'$で設置して測定を行う。$S = ab + a'b + ab' - a'b'$ という量を定義する。ただし、$a, a'$ は測定Aの結果、$b, b'$ は測定Bの結果であり、それぞれ$\pm 1$の値を取る。 $S$ の平均値$\langle S \rangle$が$ -2 \leq \langle S \rangle \leq 2$の範囲を超え、$\langle A(\theta)B(\phi)\rangle = -\cos 2(\theta - \phi)$に従うことが確認されているとき、$|\langle S \rangle|$ の最大値を実現する$(\theta, \theta', \phi, \phi')$の組を一つ求める。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

光子対を発生させ、偏光板を様々な角度$\theta, \theta', \phi, \phi'$で設置して測定を行う。$S = ab + a'b + ab' - a'b'$ という量を定義する。ただし、$a, a'$ は測定Aの結果、$b, b'$ は測定Bの結果であり、それぞれ$\pm 1$の値を取る。

$S$ の平均値$\langle S \rangle$が$-2 \leq \langle S \rangle \leq 2$の範囲を超え、$\langle A(\theta)B(\phi)\rangle = -\cos 2(\theta - \phi)$に従うことが確認されているとき、$|\langle S \rangle|$ の最大値を実現する$(\theta, \theta', \phi, \phi')$の組を一つ求める。

2. 解き方の手順

$S = ab + a'b + ab' - a'b'$ より、$\langle S \rangle = \langle ab \rangle + \langle a'b \rangle + \langle ab' \rangle - \langle a'b' \rangle$ となる。

$\langle A(\theta)B(\phi)\rangle = -\cos 2(\theta - \phi)$の関係を用いると、

$\langle S \rangle = -\cos 2(\theta - \phi) - \cos 2(\theta' - \phi) - \cos 2(\theta - \phi') + \cos 2(\theta' - \phi')$ となる。

$|\langle S \rangle|$を最大化するには、$\langle S \rangle$または$-\langle S \rangle$を最大化すればよい。

$\langle S \rangle = -[\cos 2(\theta - \phi) + \cos 2(\theta' - \phi) + \cos 2(\theta - \phi') - \cos 2(\theta' - \phi')]$ を最大化する場合を考える。

$\theta - \phi = \alpha, \theta' - \phi = \beta, \theta - \phi' = \gamma, \theta' - \phi' = \delta$ とおくと、

$\langle S \rangle = -[\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma - \cos 2\delta]$ となる。

$\langle S \rangle$を最大化するためには、$\cos 2\alpha, \cos 2\beta, \cos 2\gamma$を最小化し、$\cos 2\delta$を最大化すればよい。

$\cos 2\alpha = \cos 2\beta = \cos 2\gamma = -1$ となるように $\alpha, \beta, \gamma$ を選び、$\cos 2\delta = 1$となるように $\delta$ を選ぶ。

このとき、 $2\alpha = 2\beta = 2\gamma = \pi$ (mod $2\pi$), $2\delta = 0$ (mod $2\pi$) となる。

つまり、$\alpha = \beta = \gamma = \pi/2$ (mod $\pi$), $\delta = 0$ (mod $\pi$) となる。

$\theta - \phi = \pi/4, \theta' - \phi = 3\pi/4, \theta - \phi' = 3\pi/4, \theta' - \phi' = 5\pi/4$を仮定する。

$\theta - \phi = \pi/4$

$\theta' - \phi = 3\pi/4$

$\theta - \phi' = 3\pi/4$

$\theta' - \phi' = 0$

$\theta' - \theta = \pi/2, \phi' - \phi = \pi/2$.

このとき、$\langle S \rangle = -[\cos(\pi/2) + \cos(\pi/2) + \cos(\pi/2) - \cos(0)] = -[0 + 0 + 0 - 1] = 1$ となる。

別の角度の組み合わせを試す。$\theta = 0, \theta' = \pi/4, \phi = \pi/8, \phi' = -\pi/8$と仮定する。

$\langle S \rangle = -\cos(2\theta - 2\phi) - \cos(2\theta' - 2\phi) - \cos(2\theta - 2\phi') + \cos(2\theta' - 2\phi')$

$= -\cos(-\pi/4) - \cos(\pi/2 - \pi/4) - \cos(\pi/4) + \cos(\pi/2 + \pi/4)$

$= -\cos(\pi/4) - \cos(\pi/4) - \cos(\pi/4) + \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.

$|\langle S \rangle| = 2\sqrt{2} \approx 2.828$

$\theta = 0, \theta' = \pi/4, \phi = -\pi/8, \phi' = \pi/8$と仮定する。

$\langle S \rangle = -\cos(\pi/4) - \cos(\pi/2 + \pi/4) - \cos(-\pi/4) + \cos(\pi/2 - \pi/4)$

$= -\cos(\pi/4) + \cos(\pi/4) - \cos(\pi/4) + \cos(\pi/4) = 0$

$(\theta, \theta', \phi, \phi') = (0, \pi/4, \pi/8, -\pi/8)$ のとき、$|\langle S \rangle| = 2\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$(\theta, \theta', \phi, \phi') = (0, \pi/4, \pi/8, -\pi/8)$, $|\langle S \rangle| = 2\sqrt{2}$

$(\theta, \theta', \phi, \phi') = (\pi/8, 3\pi/8, 0, \pi/4)$, $|\langle S \rangle| = 2\sqrt{2}$

$(\theta, \theta', \phi, \phi') = (\pi/4,0, \pi/8, -\pi/8)$, $|\langle S \rangle| = 2\sqrt{2}$