与えられた4つの問題を解きます。 1. $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた4つの問題を解きます。

1. $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ を計算します。

2. 質量密度 $\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ で与えられる半径 $a$ の球の質量 $M$ を求めます。

3. 半径 $a$, 高さ $h$ の円柱内に、電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ で電荷が分布しているときの、円柱内の総電荷量 $Q$ を求めます。ここで $r$ は円柱の中心軸からの距離です。

4. 半径 $a$, 高さ $h$ の一様な質量 $M$ の円柱の中心を原点に置き、円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸としたときの慣性モーメント $I$ を求めます。

2. 解き方の手順

1. **積分の計算:**

この積分はガウス積分として知られています。

標準的なガウス積分は $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ です。

変数変換 $x = \sqrt{a} u$ を行うと、$dx = \frac{1}{\sqrt{a}} du$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-au^2} \frac{1}{\sqrt{a}} du = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = \frac{1}{\sqrt{a}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

2. **球の質量の計算:**

球座標で体積要素は $dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$ です。

球の質量は体積積分で計算されます。

$M = \int \rho(r) dV = \int_{0}^{a} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{\rho_0}{r} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi = \rho_0 \int_{0}^{a} r dr \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi$

$= \rho_0 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{a} \left[ -\cos\theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \phi \right]_{0}^{2\pi} = \rho_0 \frac{a^2}{2} (2) (2\pi) = 2\pi \rho_0 a^2$

3. **円柱の総電荷量の計算:**

円柱座標で体積要素は $dV = r dr d\theta dz$ です。

総電荷量は体積積分で計算されます。

$Q = \int \rho dV = \int_{0}^{h} \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} q_0(a-r) r dr d\theta dz = q_0 \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{a} (ar-r^2) dr \int_{0}^{2\pi} d\theta$

$= q_0 [z]_{0}^{h} \left[ \frac{ar^2}{2} - \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{a} [\theta]_{0}^{2\pi} = q_0 h \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right) (2\pi) = q_0 h \frac{a^3}{6} (2\pi) = \frac{\pi}{3} q_0 h a^3$

4. **円柱の慣性モーメントの計算:**

密度 $\rho = \frac{M}{\pi a^2 h}$ です。

慣性モーメントは $I = \int r^2 dm = \int (x^2+z^2) \rho dV$ で計算されます。

$dV = r dr d\theta dz$ を用いると、$x = r\cos\theta$, $z = z$ なので、

$I = \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} (r^2\cos^2\theta + z^2) \rho r dr d\theta dz = \rho \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz \int_{0}^{a} r dr \int_{0}^{2\pi} (r^2 \cos^2\theta + z^2) d\theta$

$= \rho \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz \int_{0}^{a} \left[ r^2 \frac{r^3}{3} \pi + z^2 r \cdot 2\pi \right] dr = \rho \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \left[ \frac{r^4}{4} \pi + z^2 r^2 \pi \right]_{0}^{a} dz$

$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \pi$

$I = \rho \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \left( \frac{\pi a^4}{4} + \pi a^2 z^2 \right) dz = \rho \left[ \frac{\pi a^4}{4} z + \frac{\pi a^2 z^3}{3} \right]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} \left[ \frac{\pi a^4 h}{4} + \frac{\pi a^2 h^3}{12} \right] = M \left[ \frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{12} \right]$

3. 最終的な答え

1. $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

2. $M = 2\pi \rho_0 a^2$

3. $Q = \frac{\pi}{3} q_0 h a^3$

4. $I = M \left( \frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{12} \right)$