与えられた問題は以下の4つです。 1. 定積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の4つです。

1. 定積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ を計算する。

2. 質量密度 $\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ (ただし $\rho_0$ は定数) で与えられる半径 $a$ の球の質量 $M$ を求める。

3. 半径 $a$、長さ $h$ の円柱内の電荷密度が $\rho = q_0(a-r)$ (ただし $q_0$ は定数、 $r$ は円柱の中心軸からの距離) で与えられるときの、円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。

4. 半径 $a$、長さ $h$ の一様な質量 $M$ の円柱の中心を原点に置き、円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸としたときの慣性モーメント $I$ を求める。

2. 解き方の手順

1. 定積分の計算:

定積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx$ はガウス積分として知られています。

一般的に、$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ が成り立ちます。

積分区間が $[0, \infty)$ であるため、被積分関数が偶関数であることを利用すると、

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ となります。

2. 球の質量の計算:

質量密度 $\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ が与えられているので、球の質量 $M$ は、

$M = \int_{0}^{a} \rho(r) dV$ で計算できます。

球座標系では、$dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$ なので、

$M = \int_{0}^{a} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{\rho_0}{r} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$

$= \rho_0 \int_{0}^{a} r dr \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi$

$= \rho_0 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{a} \left[ -\cos\theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \phi \right]_{0}^{2\pi}$

$= \rho_0 \frac{a^2}{2} (2) (2\pi) = 2\pi \rho_0 a^2$ となります。

3. 円柱の総電荷量の計算:

電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ が与えられているので、円柱の総電荷量 $Q$ は、

$Q = \int \rho dV$ で計算できます。

円柱座標系では、$dV = r dr d\theta dz$ なので、

$Q = \int_{0}^{h} \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} q_0(a-r) r dr d\theta dz$

$= q_0 \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} (ar - r^2) d\theta dr$

$= q_0 h \int_{0}^{a} (ar - r^2) dr \int_{0}^{2\pi} d\theta$

$= q_0 h (2\pi) \int_{0}^{a} (ar - r^2) dr$

$= 2\pi q_0 h \left[ \frac{ar^2}{2} - \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{a}$

$= 2\pi q_0 h \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right) = 2\pi q_0 h \frac{a^3}{6} = \frac{\pi}{3} q_0 h a^3$ となります。

4. 円柱の慣性モーメントの計算:

一様な円柱の慣性モーメントは、円柱の中心を通り円柱の軸に垂直な軸に関して、$I = \frac{1}{12} M(3a^2 + h^2)$ で与えられます。

3. 最終的な答え

1. $\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

2. $M = 2\pi \rho_0 a^2$

3. $Q = \frac{\pi}{3} q_0 h a^3$

4. $I = \frac{1}{12} M(3a^2 + h^2)$