半径 $a$、高さ $h$ の円柱内に電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ で電荷が分布しているとき、円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。ここで、$q_0$ は定数、$r$ は円柱の中心軸からの距離である。

## 問題3

1. 問題の内容

半径 $a$、高さ $h$ の円柱内に電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ で電荷が分布しているとき、円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。ここで、$q_0$ は定数、$r$ は円柱の中心軸からの距離である。

2. 解き方の手順

円柱座標系 $(r, \theta, z)$ を用いる。微小体積要素 $dV$ は $dV = r dr d\theta dz$ で表される。総電荷量 $Q$ は電荷密度 $\rho$ を体積積分することで求められる。

$Q = \int \rho dV = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^a q_0(a-r) r dr d\theta dz$

まず $r$ に関する積分を行う。

$\int_0^a q_0(a-r)r dr = q_0 \int_0^a (ar - r^2) dr = q_0 \left[ \frac{ar^2}{2} - \frac{r^3}{3} \right]_0^a = q_0 \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right) = q_0 \frac{a^3}{6}$

次に $\theta$ に関する積分を行う。

$\int_0^{2\pi} q_0 \frac{a^3}{6} d\theta = q_0 \frac{a^3}{6} \int_0^{2\pi} d\theta = q_0 \frac{a^3}{6} [ \theta ]_0^{2\pi} = q_0 \frac{a^3}{6} (2\pi) = q_0 \frac{\pi a^3}{3}$

最後に $z$ に関する積分を行う。

$\int_0^h q_0 \frac{\pi a^3}{3} dz = q_0 \frac{\pi a^3}{3} \int_0^h dz = q_0 \frac{\pi a^3}{3} [ z ]_0^h = q_0 \frac{\pi a^3}{3} h = \frac{\pi}{3} q_0 a^3 h$

3. 最終的な答え

$Q = \frac{\pi}{3} q_0 a^3 h$