偏光板を通過する光の割合を計算する問題です。 3つの異なる偏光板の配置について、光が通過する割合を求めます。 特に、3番目の配置では、N枚の偏光板が角度 $\theta = \frac{\pi}{2N}$ ずつ回転して配置されています。 各配置において、透過する光の割合をNの関数として表し、Nが無限大に近づくときの極限を求めます。

1. 問題の内容

偏光板を通過する光の割合を計算する問題です。

3つの異なる偏光板の配置について、光が通過する割合を求めます。

特に、3番目の配置では、N枚の偏光板が角度 $\theta = \frac{\pi}{2N}$ ずつ回転して配置されています。

各配置において、透過する光の割合をNの関数として表し、Nが無限大に近づくときの極限を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 1つ目の場合: 0°と90°の偏光板が配置されている場合

入射光が偏光されていない場合、最初の0°の偏光板を通過した後、光の強度は半分になります。

次に、90°の偏光板は最初の偏光板に対して直交しているため、光は完全に遮断されます。したがって、透過率は0です。

(2) 2つ目の場合: 0°、45°、90°の偏光板が配置されている場合

最初の0°の偏光板を通過すると、光の強度は半分になります。

次に、45°の偏光板を通過すると、マリュスの法則により、強度は $\cos^2(45^\circ) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ 倍になります。

最後に、90°の偏光板を通過すると、45°の偏光板を通過した光に対する角度は45°なので、再びマリュスの法則により、強度は $\cos^2(45^\circ) = \frac{1}{2}$ 倍になります。

したがって、全体の透過率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ です。

(3) 3つ目の場合: N枚の偏光板が角度 $\theta = \frac{\pi}{2N}$ ずつ回転して配置されている場合

最初の偏光板を通過した後、光の強度は半分になります。

次に、2番目の偏光板を通過すると、マリュスの法則により、強度は $\cos^2(\frac{\pi}{2N})$ 倍になります。

N枚の偏光板を通過した後、全体の透過率は以下のようになります。

$T_N = \frac{1}{2} \left( \cos^2 \left( \frac{\pi}{2N} \right) \right)^{N-1}$

$T_N = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2N} \right) \right)^{2(N-1)}$

$N \to \infty$ の極限では、$\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ なので、

$\cos \left( \frac{\pi}{2N} \right) \approx 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2N} \right)^2 = 1 - \frac{\pi^2}{8N^2}$

したがって、

$T_N = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi^2}{8N^2} \right)^{2N-2}$

ここで、$N \to \infty$ のとき、$(1 + \frac{x}{n})^n \to e^x$ を使うことを考えると少し式変形が必要になります。

$T_N = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi^2}{8N^2} \right)^{2N}$となるように操作して近似すると、

T_N \approx \frac{1}{2} \left( \left( 1 - \frac{\pi^2}{8N^2} \right)^{ -\frac{8N^2}{\pi^2}}}\right) ^{-\frac{\pi^2}{8N^2} \times 2N } = \frac{1}{2} e^{-\frac{\pi^2}{4N}}

$N \to \infty$ のとき、$T_N \to \frac{1}{2} e^0 = \frac{1}{2}$

あるいは、微小な角度の偏光板を通過するごとに光の強度が$\cos^2 (\frac{\pi}{2N})$倍になることから、N個の偏光板を通過した後の強度を考えると、

$\lim_{N \to \infty} (\cos^2 (\frac{\pi}{2N}))^N = \lim_{N \to \infty} (\cos (\frac{\pi}{2N}))^{2N}$

となります。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ より$\lim_{N \to \infty} (\cos^2 (\frac{\pi}{2N}))^N=\lim_{N \to \infty} (1- (\frac{\pi}{2N})^2)^N = e^{-\pi^2/(4N)}$となり、極限値は1になります。最初に偏光板を通っているので、$1/2$をかけることで、最終的には$1/2$になります。

3. 最終的な答え

(1) 0°と90°の偏光板の場合: 0

(2) 0°、45°、90°の偏光板の場合: 1/8

(3) N枚の偏光板の場合:

透過率: $T_N = \frac{1}{2} \left( \cos^2 \left( \frac{\pi}{2N} \right) \right)^{N-1}$

$N \to \infty$ の極限: 1/2