偏光フィルタを3枚重ねたとき、最初のフィルタの偏光方向を0度とし、2枚目のフィルタの偏光方向を$\theta$度、3枚目のフィルタの偏光方向を90度としたとき、全体を透過する光の割合を、横軸に$\theta$をとって、$\theta$の関数としてプロットせよ。

1. 問題の内容

偏光フィルタを3枚重ねたとき、最初のフィルタの偏光方向を0度とし、2枚目のフィルタの偏光方向を$\theta$度、3枚目のフィルタの偏光方向を90度としたとき、全体を透過する光の割合を、横軸に$\theta$をとって、$\theta$の関数としてプロットせよ。

2. 解き方の手順

まず、1枚目のフィルタを通過した光の強度は、入射光の強度を$I_0$とすると、$I_0$のままです。なぜなら、最初のフィルタの角度を0度としたからです。

次に、2枚目のフィルタを通過した光の強度は、1枚目のフィルタを通過した光の強度に$\cos^2\theta$をかけたものになります。したがって、

$I_2 = I_0 \cos^2 \theta$

最後に、3枚目のフィルタを通過した光の強度は、2枚目のフィルタを通過した光の強度に$\cos^2(90^\circ - \theta)$をかけたものになります。なぜなら、2枚目のフィルタと3枚目のフィルタの角度の差は$90^\circ - \theta$だからです。

$\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$であるため、

$I_3 = I_2 \cos^2 (90^\circ - \theta) = I_2 \sin^2 \theta = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$

したがって、全体を透過する光の割合は、

$T = \frac{I_3}{I_0} = \cos^2 \theta \sin^2 \theta$

三角関数の倍角の公式を用いると、

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

であるので、

$T = \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{1}{4} (2\sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2\theta$

グラフを作成するには、横軸を$\theta$、縦軸を$T$として、$T = \frac{1}{4} \sin^2 2\theta$の関数をプロットします。$\theta$は0度から90度まで変化するので、$2\theta$は0度から180度まで変化します。したがって、$\sin^2 2\theta$は0から1まで変化し、$\sin^2 2\theta$は$2\theta = 90^\circ$、つまり$\theta = 45^\circ$で最大値1をとります。$T$の最大値は$\frac{1}{4}$になります。

3. 最終的な答え

全体を透過する光の割合は、$\theta$の関数として、

$T = \frac{1}{4} \sin^2 2\theta$