雨が鉛直に降る中、電車が水平方向に一定の速さで走っている。電車内の人が見る雨滴の落下方向は、鉛直方向と $60^\circ$ の角をなしている。雨滴の落下速度が $10\ \text{m/s}$ のとき、電車の速さを求めよ。

1. 問題の内容

雨が鉛直に降る中、電車が水平方向に一定の速さで走っている。電車内の人が見る雨滴の落下方向は、鉛直方向と $60^\circ$ の角をなしている。雨滴の落下速度が $10\ \text{m/s}$ のとき、電車の速さを求めよ。

2. 解き方の手順

電車の速度を $\vec{v_A}$、雨滴の速度を $\vec{v_B}$ とする。電車内の人が見る雨滴の速度 $\vec{v}$ は、

$\vec{v} = \vec{v_B} - \vec{v_A}$

である。この $\vec{v}$ が鉛直方向から $60^\circ$ の角度をなすということは、$\vec{v_B}$ の鉛直成分と $\vec{v_A}$ の水平成分の比が $\tan 60^\circ$ に等しいことを意味する。

雨滴の落下速度 $v_B = 10\ \text{m/s}$ は鉛直方向の成分のみを持つから、$v_B = 10$ となる。

電車の速度を $v_A$ とすると、

$\tan 60^\circ = \frac{v_A}{v_B}$

$v_A = v_B \tan 60^\circ$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ であるから、

$v_A = 10\sqrt{3}\ \text{m/s}$

3. 最終的な答え

$10\sqrt{3}\ \text{m/s}$