毎年始めに1万円ずつ預金し、年利率が0.3%の複利で10年間積み立てた場合の元利合計を求める問題です。ただし、$1.003^{10} = 1.0304$とし、1円未満は切り捨てるものとします。

1. 問題の内容

毎年始めに1万円ずつ預金し、年利率が0.3%の複利で10年間積み立てた場合の元利合計を求める問題です。ただし、$1.003^{10} = 1.0304$とし、1円未満は切り捨てるものとします。

2. 解き方の手順

毎年預金する1万円について、10年後の金額を計算し、それらを合計します。

1年目に預金した1万円は、10年間複利で運用されるので、10年後の金額は

$10000 \times 1.003^{10} = 10000 \times 1.0304 = 10304$ 円

2年目に預金した1万円は、9年間複利で運用されるので、9年後の金額は

$10000 \times 1.003^{9}$ 円

同様に、n年目に預金した1万円は、(11-n)年間複利で運用されるので、(11-n)年後の金額は

$10000 \times 1.003^{(11-n)}$ 円

したがって、10年間の元利合計は、

$S = 10000 \times (1.003^{10} + 1.003^{9} + ... + 1.003^{1} )$

となります。これは等比数列の和なので、次の公式を使います。

$S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$

ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この問題では、初項 $a = 10000 \times 1.003$, 公比 $r = 1.003$, 項数 $n = 10$です。

したがって、

$S = 10000 \times 1.003 \times \frac{1 - 1.003^{10}}{1 - 1.003} = 10000 \times 1.003 \times \frac{1 - 1.0304}{-0.003} = 10000 \times 1.003 \times \frac{-0.0304}{-0.003} = 10000 \times 1.003 \times \frac{304}{3} \times \frac{1}{10000}$

$S = 10030 \times \frac{0.0304}{0.003} = 10000 \times 1.003 \times \frac{1.0304-1}{0.003} = 10000 \times 1.003 \times \frac{0.0304}{0.003}=10000 \times 1.003 \times \frac{304}{3}$

$S=10000 \times \frac{1.003^{10}-1}{1.003-1} \times (1.003)= 10000 \times (1.0304-1)/(0.003) = 10000 \times 0.0304/0.003 = 10000\times (304/3) = 102304$

$S = 10000 \times 1.003 \times \frac{1.003^{10}-1}{0.003} \approx 10000 \times \frac{1.0304-1}{0.003} \times 1.003=10000 \times \frac{0.0304}{0.003} \approx 10000 \times \frac{304}{3} = \frac{3040000}{3}=101333.3333$

$S = 10304 + 10000 \times 1.003^{9} + \dots + 10000 \times 1.003$

$= 10000 \times (1.003 + 1.003^2 + \dots + 1.003^{10}) = 10000 \times 1.003 \times \frac{1.003^{10} - 1}{1.003 - 1}$

$= 10000 \times 1.003 \times \frac{1.0304 - 1}{0.003} = 10000 \times 1.003 \times \frac{0.0304}{0.003} = 10000 \times 1.003 \times \frac{304}{3}$

$\approx 10000 \times 101.3 = 101300$.

それぞれの金額を計算すると

1年目: 10304

2年目: $10000 \times 1.003^{9}=10273$

3年目: $10000 \times 1.003^{8}=10243$

4年目: $10000 \times 1.003^{7}=10213$

5年目: $10000 \times 1.003^{6}=10183$

6年目: $10000 \times 1.003^{5}=10153$

7年目: $10000 \times 1.003^{4}=10123$

8年目: $10000 \times 1.003^{3}=10090$

9年目: $10000 \times 1.003^{2}=10060$

10年目: $10000 \times 1.003=10030$

これらの合計は$102672$. 1円未満を切り捨てると 102672円

3. 最終的な答え

102672円