100Vで使用時に400Wの電熱器を用いて、20℃の500mLの水を沸騰させるのに何分かかるかを計算する問題です。ただし、電熱器の発熱量は全て水の温度上昇に使われるものとし、水の比熱は $c = 4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg·K)}$ とします。

1. 問題の内容

100Vで使用時に400Wの電熱器を用いて、20℃の500mLの水を沸騰させるのに何分かかるかを計算する問題です。ただし、電熱器の発熱量は全て水の温度上昇に使われるものとし、水の比熱は $c = 4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg·K)}$ とします。

2. 解き方の手順

まず、水の密度を $1 \text{ g/mL}$ とすると、500mLの水の質量 $m$ は $m = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$ です。

次に、水を沸騰させるのに必要な温度上昇 $\Delta T$ は $100^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 80^\circ\text{C}$ です。

したがって、水が吸収する熱量 $Q$ は、

$Q = mc\Delta T$

$Q = 0.5 \text{ kg} \times 4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg·K)} \times 80 \text{ K} = 168 \times 10^3 \text{ J}$

電熱器の電力は $P = 400 \text{ W}$ です。つまり、1秒あたり400Jのエネルギーを供給します。

沸騰させるのに必要な時間を $t$ (秒) とすると、

$Q = Pt$

$168 \times 10^3 \text{ J} = 400 \text{ W} \times t$

$t = \frac{168 \times 10^3}{400} \text{ s} = 420 \text{ s}$

時間を分に変換するには、秒数を60で割ります。

$t = \frac{420}{60} \text{ min} = 7 \text{ min}$

3. 最終的な答え

7 分