原点 $x=0$ の媒質が振幅 $A$、周期 $T$ で振動し、時刻 $t$ における変位が $y_1(0, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} t}$ と表される。この振動が $x$ 軸正の方向に速さ $v$ で伝わり、$x=L (>0)$ の端に入射し反射する。入射波も反射波もその伝わる速さは $v$ である。 (1) 端 $x=L$ への入射波の式 $y_1(x,t)$ を求めよ。 (2) 端 $x=L$ が自由端の場合と固定端の場合について、反射波の式 $y_2(x,t)$ をそれぞれ求めよ。 (3) 合成波の式 $y(x,t)$ を、端 $x=L$ が自由端の場合と固定端の場合についてそれぞれ求め、固定端の場合、$x=0$ が腹になるための $L$ に対する条件を求めよ。

1. 問題の内容

原点 $x=0$ の媒質が振幅 $A$、周期 $T$ で振動し、時刻 $t$ における変位が $y_1(0, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} t}$ と表される。この振動が $x$ 軸正の方向に速さ $v$ で伝わり、$x=L (>0)$ の端に入射し反射する。入射波も反射波もその伝わる速さは $v$ である。

(1) 端 $x=L$ への入射波の式 $y_1(x,t)$ を求めよ。

(2) 端 $x=L$ が自由端の場合と固定端の場合について、反射波の式 $y_2(x,t)$ をそれぞれ求めよ。

(3) 合成波の式 $y(x,t)$ を、端 $x=L$ が自由端の場合と固定端の場合についてそれぞれ求め、固定端の場合、$x=0$ が腹になるための $L$ に対する条件を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 入射波の式を求める。

原点 $x=0$ での変位が $y_1(0, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} t}$ であるから、位置 $x$ での時刻 $t$ における変位は、

$y_1(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})}$

(2) 反射波の式を求める。

まず、波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{vT} \times v = \frac{2\pi}{vT} T$ とおく。

(a) 自由端の場合、$x=L$ で変位が最大となるので、反射波は

$y_2(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x-2L}{v})}$

または

$y_2(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 2\frac{2\pi}{T} \frac{L}{v}} = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 4\pi \frac{L}{vT}} = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 4\pi \frac{L}{\lambda}}$

(b) 固定端の場合、$x=L$ で変位が0となるので、反射波は

$y_2(x, t) = -A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x-2L}{v})}$

または

$y_2(x, t) = -A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 2\frac{2\pi}{T} \frac{L}{v}} = -A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 4\pi \frac{L}{vT}} = -A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 4\pi \frac{L}{\lambda}}$

(3) 合成波の式を求める。

(a) 自由端の場合

$y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})} + A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x-2L}{v})}$

$y(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})} + A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 4\pi \frac{L}{\lambda}}$

$y(x,t) = 2A\cos(\frac{2\pi x}{vT})\sin(\frac{2\pi}{T}(t - \frac{L}{v})) = 2A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})\sin(\frac{2\pi}{T}(t - \frac{L}{v}))$

(b) 固定端の場合

$y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})} - A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x-2L}{v})}$

$y(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})} - A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x}{v}) - 4\pi \frac{L}{\lambda}}$

$y(x,t) = 2A\cos(\frac{2\pi}{T}t + \pi -\frac{2\pi}{vT}L)\sin (\frac{2\pi x}{vT}) = 2A\cos(\frac{2\pi}{T}t - \frac{4\pi L}{\lambda}) \sin (\frac{2\pi x}{\lambda})$

固定端の場合、$x=0$ が腹になるためには、$\sin{\frac{2\pi x}{\lambda}}$ の係数が最大となる必要がある。すなわち、

$\cos(\frac{2\pi}{T}t - \frac{4\pi L}{\lambda}) = 1$ より $\sin(\frac{2\pi x}{\lambda})$の係数の絶対値が最大であればよいから、

$\frac{2\pi}{T}t - \frac{4\pi L}{\lambda} = n\pi$ (nは整数)　が成り立ち、これは時間に依存するので、

腹の条件としては成り立たない。

$x=0$が腹になるためには

$\frac{2 \pi x}{\lambda}$の係数に着目すると$x = 0$における振幅は0なので常に節である。したがって題意を満たすようなLは存在しない。

最終的な答え

(1) $y_1(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t - \frac{x}{v})}$

(2) 自由端の場合: $y_2(x, t) = A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x-2L}{v})}$

固定端の場合: $y_2(x, t) = -A \sin{\frac{2\pi}{T} (t + \frac{x-2L}{v})}$

(3) 自由端の場合: $y(x,t) = 2A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})\sin(\frac{2\pi}{T}(t - \frac{L}{v}))$

固定端の場合: $y(x,t) = 2A\cos(\frac{2\pi}{T}t - \frac{4\pi L}{\lambda}) \sin (\frac{2\pi x}{\lambda})$

固定端の場合、$x=0$ が腹になるための条件: 存在しない